Determine o valor de X na equação:
a) (x+1) + (x+2) + … + (x+n) + … + (x+100) = 7,
b) (3x+2) + (3x+5) + … + (3x+3n-1) + … + (3x+59) = 630
a) (x+1) + (x+2) + … + (x+n) + … + (x+100) = 7,
b) (3x+2) + (3x+5) + … + (3x+3n-1) + … + (3x+59) = 630
Passo 1
Neste exercício, temos duas equações para resolver envolvendo somas de termos que dependem de $ X $. Vamos utilizar conceitos de progressão aritmética e fórmulas de soma de séries para encontrar os valores de $ X $ nas partes a) e b).
Passo 2
Resolução da parte a):
A equação é:
Primeiro, precisamos determinar quantos termos existem nessa soma. Começamos com $ (x + 1) $ e vamos até $ (x + 100) $, totalizando 100 termos.
Passo 3
Para somar esses termos, usamos a fórmula da soma de uma progressão aritmética:
Onde:
- $ S_n $ é a soma dos $ n $ termos,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ a_n $ é o último termo,
- $ n $ é o número de termos.
Aplicando à nossa soma:
Passo 4
Agora, igualamos a soma a 7:
Resolvendo para $ x $:
Passo 5
Resolução da parte b):
A equação é:
Primeiro, identificamos a progressão aritmética presente. Observamos que a diferença entre os termos é 3, começando em $ 3x + 2 $ e terminando em $ 3x + 59 $.
Passo 6
Para encontrar o número de termos ($ n $), usamos a fórmula do termo geral da PA:
Onde:
- $ a_n = 3x + 59 $,
- $ a_1 = 3x + 2 $,
- $ d = 3 $.
Substituindo:
Passo 7
Calculamos a soma usando a fórmula da soma da PA:
Aplicando:
Passo 8
Igualamos a soma a 630:
Resposta
a) $ x = -50{,}43 $
b) $ x = \frac{1}{3} $