Determine o valor de X na equação:
a) (x+1) + (x+2) + … + (x+n) + … + (x+100) = 7,
b) (3x+2) + (3x+5) + … + (3x+3n-1) + … + (3x+59) = 630

Passo 1

Neste exercício, temos duas equações para resolver envolvendo somas de termos que dependem de $ X $. Vamos utilizar conceitos de progressão aritmética e fórmulas de soma de séries para encontrar os valores de $ X $ nas partes a) e b).

Passo 2

Resolução da parte a):
A equação é:
(x + 1) + (x + 2) + dots + (x + 100) = 7
Primeiro, precisamos determinar quantos termos existem nessa soma. Começamos com $ (x + 1) $ e vamos até $ (x + 100) $, totalizando 100 termos.

Passo 3

Para somar esses termos, usamos a fórmula da soma de uma progressão aritmética:
Sn = n cdot a1 + an2
Onde:
  • $ S_n $ é a soma dos $ n $ termos,
  • $ a_1 $ é o primeiro termo,
  • $ a_n $ é o último termo,
  • $ n $ é o número de termos.
Aplicando à nossa soma:
Sn

Passo 4

Agora, igualamos a soma a 7:
100x + 5050 = 7
Resolvendo para $ x $:
x

Passo 5

Resolução da parte b):
A equação é:
(3x + 2) + (3x + 5) + dots + (3x + 59) = 630
Primeiro, identificamos a progressão aritmética presente. Observamos que a diferença entre os termos é 3, começando em $ 3x + 2 $ e terminando em $ 3x + 59 $.

Passo 6

Para encontrar o número de termos ($ n $), usamos a fórmula do termo geral da PA:
n
Onde:
  • $ a_n = 3x + 59 $,
  • $ a_1 = 3x + 2 $,
  • $ d = 3 $.
Substituindo:
an = a1 + (n - 1)d

Passo 7

Calculamos a soma usando a fórmula da soma da PA:
Sn = n cdot a1 + an2
Aplicando:
S20 = 20 cdot (3x + 2) + (3x + 59)2 = 20 cdot 6x + 612 = 10 cdot (6x + 61) = 60x + 610

Passo 8

Igualamos a soma a 630:
60x + 610 = 630 60x = 630 - 610 60x = 20 x = 2060 x = 13

Resposta

a) $ x = -50{,}43 $
b) $ x = \frac{1}{3} $

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