9.2.1 Determine o valor do expoente N para que as equações exponenciais sejam verdadeiras:
e) 9^{N}=81

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial 9^{N}=81 e pede o valor de N.
Informações relevantes:
  • A incógnita é N.
  • A equação relaciona potências de inteiros: 9^{N} e 81.

Passo 2

Lembrete sobre propriedades de potências que vamos usar (explicando direitinho):
  • Para quaisquer números a, b, c com a>0, vale (a^{b})^{c}=a^{bc}. Aqui a é a base, b e c são expoentes.
  • Se a^{u}=a^{v} e a>0, a\neq1, então necessariamente u=v. Ou seja, quando as bases são iguais e válidas, os expoentes se igualam.

Passo 3

Expressar as quantidades com a mesma base facilita muito. Observando os números:
9 = 3^{2} \qquad\text{e}\qquad 81 = 3^{4}.
(Estas igualdades vêm de que 9=3\cdot3 e 81=3\cdot3\cdot3\cdot3.)

Passo 4

Substituo 9 por 3^{2} na equação inicial:
(3^{2})^{N} = 3^{4}.

Passo 5

Uso a propriedade (a^{b})^{c}=a^{bc} no lado esquerdo:
3^{2N} = 3^{4}.
Como a base 3 é a mesma dos dois lados e 3>0, podemos igualar os expoentes:
2N = 4.

Passo 6

Resolver a equação linear em N:
N = \frac{4}{2} = 2.

Passo 7

Checagem rápida (substituição de volta): \,9^{2} = 81, então a solução está correta.

Resposta

N=2