Determine o valor máximo de f(x, y, z)=2 x+2 y-z sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor máximo da função
f(x,y,z)=2x+2y-z
sujeita à restrição da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, ou equivalentemente a ideia geométrica de que o máximo de uma forma linear sobre uma esfera ocorre na direção do gradiente.

Passo 2

Definimos a restrição como
g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.
Calculamos os gradientes:
\nabla f=(2,2,-1), \quad \nabla g=(2x,2y,2z).
Pelo método de Lagrange, deve ocorrer
\nabla f = \lambda \,\nabla g,
isto é,
2 = 2\lambda x,\quad 2 = 2\lambda y,\quad -1 = 2\lambda z.

Passo 3

Das equações de Lagrange obtemos
x = \frac{1}{\lambda}, \quad y = \frac{1}{\lambda}, \quad z = -\frac{1}{2\lambda}.
Substituímos esses valores na restrição
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
para achar \lambda.

Passo 4

Substituindo,
\Bigl(\frac{1}{\lambda}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{1}{\lambda}\Bigr)^{2} +\Bigl(-\frac{1}{2\lambda}\Bigr)^{2} =4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{\lambda^{2}}+\frac{1}{4\lambda^{2}}=4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{4\lambda^{2}}=4 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^{2}=\frac{9}{16}.
Logo \lambda=\pm\frac{3}{4}.

Passo 5

Para \lambda=\tfrac{3}{4},
x=y=\frac{1}{\lambda}=\frac{4}{3}, \quad z=-\frac{1}{2\lambda}=-\frac{2}{3},
e
f\Bigl(\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3},-\tfrac{2}{3}\Bigr) =2\!\Bigl(\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr) =\frac{16}{3}+\frac{2}{3}=6.
Para \lambda=-\tfrac{3}{4} obtém-se o valor -6. Assim, o valor máximo é 6.

Resposta

6

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