Determine o valor máximo de
sobre a esfera
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor máximo da função
sujeita à restrição da esfera
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, ou equivalentemente a ideia geométrica de que o máximo de uma forma linear sobre uma esfera ocorre na direção do gradiente.
Passo 2
Definimos a restrição como
Calculamos os gradientes:
Pelo método de Lagrange, deve ocorrer
isto é,
Passo 3
Das equações de Lagrange obtemos
Substituímos esses valores na restrição
para achar
.
Passo 4
Substituindo,
Logo
.
Passo 5
Para
,
e
Para
obtém-se o valor
. Assim, o valor máximo é
.