Determine o valor máximo de f(x, y, z)=x+y+z tal que x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} e conclua que:
(x+y+z)^{2} \leq 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor máximo de f(x,y,z)=x+y+z sob a condição x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}. O conteúdo que vamos usar é o conceito de produto escalar e a Desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Observe que
x+y+z=(x,y,z)\cdot(1,1,1).
Pela Desigualdade de Cauchy–Schwarz, vale
\bigl|(x,y,z)\cdot(1,1,1)\bigr|\le\|(x,y,z)\|\;\|(1,1,1)\|.

Passo 3

Calculamos as normas:
\|(x,y,z)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=a, \qquad \|(1,1,1)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
Logo,
|x+y+z|\le a\sqrt{3},
e o máximo de x+y+z é alcançado quando (x,y,z) é paralelo a (1,1,1), isto é, x=y=z.

Passo 4

Elevando ao quadrado obtemos imediatamente
(x+y+z)^{2}\le (a\sqrt{3})^{2}=3a^{2}=3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),
o que conclui a desigualdade proposta.

Resposta

\displaystyle \max f(x,y,z)=a\sqrt{3}. Portanto,
(x+y+z)^{2}\le3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

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