Determine o valor máximo de f(x, y, z)=x+y+z tal que x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} e conclua que: (x+y+z)^{2} \leq 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) . Passo 1O enunciado pede para determinar o valor máximo de f(x,y,z)=x+y+z sob a condição x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}. O conteúdo que vamos usar é o conceito de produto escalar e a Desigualdade de Cauchy–Schwarz. Passo 2Observe que x+y+z=(x,y,z)\cdot(1,1,1). Pela Desigualdade de Cauchy–Schwarz, vale \bigl|(x,y,z)\cdot(1,1,1)\bigr|\le\|(x,y,z)\|\;\|(1,1,1)\|. Passo 3Calculamos as normas: \|(x,y,z)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=a, \qquad \|(1,1,1)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}. Logo, |x+y+z|\le a\sqrt{3}, e o máximo de x+y+z é alcançado quando (x,y,z) é paralelo a (1,1,1), isto é, x=y=z. Passo 4Elevando ao quadrado obtemos imediatamente (x+y+z)^{2}\le (a\sqrt{3})^{2}=3a^{2}=3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr), o que conclui a desigualdade proposta. Resposta \displaystyle \max f(x,y,z)=a\sqrt{3}. Portanto, (x+y+z)^{2}\le3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados: (a) f(x, y)=\operatorname{sen}(x y),(0,1). (b) f(x, y, z)=\sqrt[4]{x^{2}+y^{2}+z^{2}},(1,0,0). (c) f(x, y, z)=x y z,(1,1,1). (d) f(x, y, z)=(x y)^{z},(12,10,1). (e) f(x, y, z)=x y^{3}+\cos (\pi z),(1,3,1) (f) f(x, y, z)=x^{2}-y^{2}-z^{2}+x y z,(1,1,0) Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados: (a) f(x, y)=\operatorname{sen}(x y),(0,1). (b) f(x, y, z)=\sqrt[4]{x^{2}+y^{2}+z^{2}},(1,0,0). (c) f(x, y, z)=x y z,(1,1,1). (d) f(x, y, z)=(x y)^{z},(12,10,1). (e) f(x, y, z)=x y^{3}+\cos (\pi z),(1,3,1) (f) f(x, y, z)=x^{2}-y^{2}-z^{2}+x y z,(1,1,0) Determine o valor máximo de f(x, y, z)=x+y+z tal que x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} e conclua que: (x+y+z)^{2} \leq 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) . Determine o valor máximo de f(x, y, z)=x+y+z tal que x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} e conclua que: (x+y+z)^{2} \leq 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) .