Determine o valor médio
da energia total de um movimento harmônico simples.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor médio da energia total de um movimento harmônico simples (MHS). Em MHS, a energia total E_{\rm tot} é a soma da energia cinética T e da energia potencial U. Vamos usar as expressões para posição e velocidade, e depois mostrar que E_{\rm tot} é constante no tempo, logo seu valor médio ao longo de um ciclo é igual a esse mesmo valor constante.

Passo 2

No MHS com amplitude A e frequência angular \omega, a posição e a velocidade são
x(t)=A\cos(\omega t),
v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin(\omega t).
A energia cinética é
T(t)=\tfrac12\,m\,v(t)^2 =\tfrac12\,m\,(A\omega)^2\sin^2(\omega t) =\tfrac12\,mA^2\omega^2\sin^2(\omega t),
e a energia potencial elástica é
U(t)=\tfrac12\,k\,x(t)^2 =\tfrac12\,k\,A^2\cos^2(\omega t).
Como em MHS temos k=m\omega^2, podemos escrever
U(t)=\tfrac12\,m\omega^2A^2\cos^2(\omega t).

Passo 3

Somando as duas energias obtém-se a energia total
E_{\rm tot}(t)=T(t)+U(t) =\tfrac12\,mA^2\omega^2\sin^2(\omega t)+\tfrac12\,mA^2\omega^2\cos^2(\omega t) =\tfrac12\,mA^2\omega^2\bigl(\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)\bigr).
Como \sin^2+\cos^2=1, resulta
E_{\rm tot}(t)=\tfrac12\,mA^2\omega^2.
Isso mostra que a energia total é constante em qualquer instante.

Passo 4

Para calcular o valor médio de E_{\rm tot} ao longo de um ciclo de período T, fazemos
\langle E_{\rm tot}\rangle =\frac1T\int_0^T E_{\rm tot}(t)\,\mathrm{d}t.
Mas, como E_{\rm tot}(t) é constante, o integral simplesmente dá E_{\rm tot}, e dividindo por T ficamos com o mesmo valor:
\langle E_{\rm tot}\rangle =\tfrac12\,mA^2\omega^2.

Resposta

O valor médio da energia total no MHS é
\langle E_{\rm tot}\rangle =\tfrac12\,mA^2\omega^2 \;=\;\tfrac12\,kA^2.

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