Determine o valor médio
da energia total de um movimento harmônico simples.
da energia total de um movimento harmônico simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor médio da energia total de um movimento harmônico simples (MHS). Em MHS, a energia total
é a soma da energia cinética
e da energia potencial
. Vamos usar as expressões para posição e velocidade, e depois mostrar que
é constante no tempo, logo seu valor médio ao longo de um ciclo é igual a esse mesmo valor constante.
Passo 2
No MHS com amplitude
e frequência angular
, a posição e a velocidade são
A energia cinética é
e a energia potencial elástica é
Como em MHS temos
, podemos escrever
Passo 3
Somando as duas energias obtém-se a energia total
Como
, resulta
Isso mostra que a energia total é constante em qualquer instante.
Passo 4
Para calcular o valor médio de
ao longo de um ciclo de período
, fazemos
Mas, como
é constante, o integral simplesmente dá
, e dividindo por
ficamos com o mesmo valor:
Resposta
O valor médio da energia total no MHS é