Diferentemente da ligação indicada no problema anterior, duas molas são ligadas em série na vertical e a mola inferior sustenta um bloco de massa m. Determine: (a) a constante da mola equivalente; (b) a amplitude das oscilações em função da constante da mola equivalente; (c) a frequência das oscilações em função da constante da mola equivalente.

Passo 1

Temos duas molas de constantes \,k_1 e \,k_2 ligadas em série na vertical, sustentando uma massa \,m. O objetivo é:
– (a) achar a constante equivalente \,k_{\rm eq} dessa combinação em série;
– (b) determinar a amplitude das pequenas oscilações em termos de \,k_{\rm eq};
– (c) obter a frequência (ou frequência angular) dessas oscilações em função de \,k_{\rm eq}.
Para isso vamos usar a fórmula de molas em série, a condição de equilíbrio estático e a equação de movimento para pequenas oscilações.

Passo 2

Quando duas molas estão em série, a deformação total \,x sofre a soma das deformações individuais \,x_1 e \,x_2. Como em cada mola a força é a mesma F=k_1x_1=k_2x_2, a constante equivalente \,k_{\rm eq} satisfaz
\frac1{k_{\rm eq}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}
ou seja
k_{\rm eq}=\frac{k_1\,k_2}{\,k_1+k_2\,}\,.

Passo 3

No equilíbrio estático, a força peso \,mg é balanceada pela força elástica da mola equivalente deformada de \,x_{\rm eq}:
mg = k_{\rm eq}\,x_{\rm eq} \quad\Longrightarrow\quad x_{\rm eq}=\frac{mg}{k_{\rm eq}}\,.

Passo 4

Se a massa for solta a partir da posição em que as molas estão em seu comprimento natural (isto é, sem carga), a extensão inicial é zero e a massa cai deformando as molas até a nova posição de equilíbrio. O deslocamento máximo em relação ao equilíbrio, que é a amplitude \,A das oscilações, vale exatamente
A = x_{\rm eq} = \frac{mg}{k_{\rm eq}}\,.

Passo 5

Para pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio usamos a equação de movimento linearizada
m\,\ddot x + k_{\rm eq}\,x = 0\,,
cuja solução é harmônica com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{k_{\rm eq}}{m}}
e frequência própria
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\rm eq}}{m}}\,.

Resposta

(a) \displaystyle k_{\rm eq}=\frac{k_1\,k_2}{k_1+k_2}.
(b) \displaystyle A=\frac{mg}{k_{\rm eq}}.
(c) \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k_{\rm eq}}{m}}\quad\text{e}\quad f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\rm eq}}{m}}\,.

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