Determine o valor da soma ∫ 2 0 x ( x 2 + 1 ) 2 d x + ∫ π 2 0 x s e n ( 2 x ) d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais assuntos vamos utilizar para resolvê-lo.
Enunciado: Calcule a soma das integrais $ \int_{0}^{2} x (x^2 + 1)^2 , dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(2x) , dx $.
Conteúdo da matéria: Esse problema envolve técnicas de integração, especificamente a integração por substituição e a integração por partes.
O que vamos precisar: Vamos resolver cada integral separadamente, utilizando a técnica adequada para cada uma, e depois somar os resultados para obter a resposta final.

Passo 2

Vamos resolver a primeira integral: $ \int_{0}^{2} x (x^2 + 1)^2 , dx $.
Técnica utilizada: Integração por substituição.
Explicação: Observando a expressão $ (x^2 + 1)^2 $, podemos simplificar a integral utilizando uma substituição que torne a integração mais fácil.
Substituição: Seja $ u = x^2 + 1 $. Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
integral0^2 x (x^2 + 1)^2 , dx
Reescrevendo a integral em termos de $ u $:
(x^2 + 1)^2
Calculando a integral:
u = x^2 + 1
Voltando para a variável original $ x $:
x
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda integral: $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(2x) , dx $.
Técnica utilizada: Integração por partes.
Explicação: A integração por partes é útil quando temos um produto de funções, como é o caso aqui.
Fórmula da integração por partes:
integral0^pi2 x sin(2x) , dx
Escolha de $ u $ e $ dv $:
Vamos definir:
integral u , dv = uv - integral v , du
u
Aplicando a fórmula:
dv
Calculando a segunda integral:
u = x Rightarrow du = dx
Portanto, a integral completa fica:
dv = sin(2x) , dx Rightarrow v = -12 cos(2x)
Aplicando os limites de integração de 0 a $ \frac{\pi}{2} $:
Calculando em $ x = \frac{\pi}{2} $:
integral x sin(2x) , dx = -x2 cos(2x) + 12 integral cos(2x) , dx
Calculando em $ x = 0 $:
12 cdot 12 sin(2x) + C = 14 sin(2x) + C
Resultado da segunda integral:
-x2 cos(2x) + 14 sin(2x) + C

Resposta

Somando os resultados das duas integrais:
623 + pi4 = boxed 623 + pi4

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