Determine o valor da soma ∫ 2 0 x ( x 2 + 1 ) 2 d x + ∫ π 2 0 x s e n ( 2 x ) d x
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais assuntos vamos utilizar para resolvê-lo.
Enunciado: Calcule a soma das integrais $ \int_{0}^{2} x (x^2 + 1)^2 , dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(2x) , dx $.
Conteúdo da matéria: Esse problema envolve técnicas de integração, especificamente a integração por substituição e a integração por partes.
O que vamos precisar: Vamos resolver cada integral separadamente, utilizando a técnica adequada para cada uma, e depois somar os resultados para obter a resposta final.
Passo 2
Vamos resolver a primeira integral: $ \int_{0}^{2} x (x^2 + 1)^2 , dx $.
Técnica utilizada: Integração por substituição.
Explicação: Observando a expressão $ (x^2 + 1)^2 $, podemos simplificar a integral utilizando uma substituição que torne a integração mais fácil.
Substituição: Seja $ u = x^2 + 1 $. Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Reescrevendo a integral em termos de $ u $:
Calculando a integral:
Voltando para a variável original $ x $:
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Passo 3
Agora, vamos resolver a segunda integral: $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(2x) , dx $.
Técnica utilizada: Integração por partes.
Explicação: A integração por partes é útil quando temos um produto de funções, como é o caso aqui.
Fórmula da integração por partes:
Escolha de $ u $ e $ dv $:
Vamos definir:
Aplicando a fórmula:
Calculando a segunda integral:
Portanto, a integral completa fica:
Aplicando os limites de integração de 0 a $ \frac{\pi}{2} $:
Calculando em $ x = \frac{\pi}{2} $:
Calculando em $ x = 0 $:
Resultado da segunda integral:
Resposta
Somando os resultados das duas integrais: