Determine o valor verdade de cada uma das proposições:
(\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N})\left(n^{2}=m\right)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a verdade da proposição
(\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N})\bigl(n^{2}=m\bigr).
Aqui o conteúdo é lógica de primeira ordem, em particular uso dos quantificadores universal e existencial, e a propriedade de fechamento de \mathbb{N} sob multiplicação.

Passo 2

Sabemos que o conjunto dos números naturais \mathbb{N} é fechado sob multiplicação, ou seja, se a\in\mathbb{N} e b\in\mathbb{N}, então a\cdot b\in\mathbb{N}. Em particular, para cada n\in\mathbb{N} temos
n\cdot n = n^{2}\in\mathbb{N}.

Passo 3

Dado um n arbitrário em \mathbb{N}, basta escolher como testemunha
m = n^{2}.
Então m\in\mathbb{N} e n^{2}=m, o que satisfaz o quantificador existencial.

Resposta

A proposição é verdadeira.

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