Determine o valor verdade de cada uma das proposições:
(\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N})\left(n=m^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a verdade da proposição
(\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N})\bigl(n = m^{2}\bigr),
que afirma que “para todo natural n existe um natural m tal que n é o quadrado de m”.

Passo 2

Vamos entender o que isso diz: estamos tentando cobrir todos os números naturais com quadrados perfeitos. Ou seja, cada n em \mathbb{N} deveria ser igual a m^{2} para algum m\in\mathbb{N}.

Passo 3

Basta encontrar um contraexemplo: escolha n=2. Se existisse m\in\mathbb{N} com 2=m^{2}, teríamos m=\sqrt{2}, mas \sqrt{2}\notin\mathbb{N}. Logo não há m natural que satisfaça 2=m^{2}.

Resposta

A proposição é falsa.

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