Determine o valor verdade de cada uma das proposições:
(\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})(x+y=2 \wedge x-y=1)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a verdade da proposição
(\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})\bigl(x+y=2\\ \wedge\\ x-y=1\bigr).
Estamos lidando com quantificadores sobre reais e um sistema de duas equações lineares em x e y.

Passo 2

Fixe um valor qualquer de x. Para que exista y satisfazendo simultaneamente
x+y=2 \quad\text{e}\quad x-y=1,
somamos as duas igualdades:
(x+y)+(x-y)=2+1
2x=3
x=\tfrac{3}{2}.
Substituindo em x+y=2 vem
y=2 - x = 2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Concluímos que só existe solução (x,y) quando x=\tfrac{3}{2} (e então y=\tfrac12). Para qualquer outro x\in\mathbb{R} não há y que satisfaça as duas equações.

Passo 4

Como o quantificador exterior é \forall x, precisamos que a condição valha para todo real x. Mas vimos que ela vale apenas em x=\tfrac{3}{2}. Logo a proposição universal falha.

Resposta

A proposição é falsa.

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