Determine os valores de aderência da sequência dada por x_{n}=(-1)^{n}+\frac{1}{n}, \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} definida por
x_n = (-1)^n + \frac{1}{n},\quad \forall n\in\mathbb{N}.
O que se pede: determinar os valores de aderência (ou pontos de acumulação) dessa sequência — isto é, todos os pontos L\in\mathbb{R} tais que existe uma subsequência x_{n_k} que converge para L.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência tem um termo oscilante (-1)^n que vale apenas \,1 ou -1.
  • Há um termo \dfrac{1}{n} que tende a 0 quando n\to\infty.

Passo 2

Definição e ideia de método (aula rapidinha e concreta).
Um número L é valor de aderência da sequência \{x_n\} se existir uma subsequência x_{n_k} tal que
\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = L.
Estratégia prática: encontrar subsequências óbvias que convergem (geralmente extrair pares/paridades, monotonia, etc.) e provar que não existem outros limites possíveis além desses. Aqui a paridade de n sugere duas subsequências naturais: índices pares e índices ímpares.

Passo 3

Subsequência dos índices pares.
Considere n=2k. Então
x_{2k} = (-1)^{2k} + \frac{1}{2k} = 1 + \frac{1}{2k}.
Como \dfrac{1}{2k}\to 0 quando k\to\infty, pela propriedade de limites da soma obtemos
\lim_{k\to\infty} x_{2k} = 1 + 0 = 1.
Portanto 1 é um valor de aderência (pois é limite da subsequência x_{2k}).

Passo 4

Subsequência dos índices ímpares.
Considere n=2k+1. Então
x_{2k+1} = (-1)^{2k+1} + \frac{1}{2k+1} = -1 + \frac{1}{2k+1}.
Como \dfrac{1}{2k+1}\to 0 quando k\to\infty, obtemos
\lim_{k\to\infty} x_{2k+1} = -1 + 0 = -1.
Portanto -1 é um valor de aderência (é limite da subsequência x_{2k+1}).

Passo 5

Provar que não existem outros valores de aderência além de 1 e -1.
Seja x_{n_j} qualquer subsequência que converge, digamos \lim_{j\to\infty} x_{n_j} = L. Note que
x_{n_j} - \frac{1}{n_j} = (-1)^{n_j}.
Como \dfrac{1}{n_j}\to 0, isto implica que
\lim_{j\to\infty} (-1)^{n_j} = \lim_{j\to\infty} \bigg(x_{n_j} - \frac{1}{n_j}\bigg) = L - 0 = L.
Logo a sequência (-1)^{n_j} converge para L. Mas (-1)^{n_j} só pode assumir os valores \,1 e -1. Uma sequência que toma apenas os valores 1 e -1 e que converge tem de ser, a partir de algum índice, constante (caso contrário não poderia se aproximar de um único número), portanto o limite L só pode ser 1 ou -1.
Portanto nenhum outro L além de 1 e -1 pode ser limite de uma subsequência de \{x_n\}.

Passo 6

Conclusão final e interpretação.
Encontramos duas subsequências convergentes com limites diferentes ( 1 e -1) e provamos que qualquer subsequência convergente só pode ter limite 1 ou -1. Assim o conjunto de valores de aderência é exatamente \{1,-1\}.
Força aí nos estudos — sequência com termo oscilante + termo que vai a zero costuma dar exatamente esse tipo de comportamento: um aderente para cada “nível” do oscilante.

Resposta

\{1,-1\}