Determine os valores de aderência da sequência dada por
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
O que se pede: determinar os valores de aderência (ou pontos de acumulação) dessa sequência — isto é, todos os pontos
tais que existe uma subsequência
que converge para
.
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência tem um termo oscilante
que vale apenas ou . - Há um termo
que tende a quando .
Passo 2
Definição e ideia de método (aula rapidinha e concreta).
Um número é valor de aderência da sequência
se existir uma subsequência
tal que
Um número
Estratégia prática: encontrar subsequências óbvias que convergem (geralmente extrair pares/paridades, monotonia, etc.) e provar que não existem outros limites possíveis além desses. Aqui a paridade de
sugere duas subsequências naturais: índices pares e índices ímpares.
Passo 3
Subsequência dos índices pares.
Considere . Então
Considere
Como
quando
, pela propriedade de limites da soma obtemos
Portanto
é um valor de aderência (pois é limite da subsequência
).
Passo 4
Subsequência dos índices ímpares.
Considere . Então
Considere
Como
quando
, obtemos
Portanto
é um valor de aderência (é limite da subsequência
).
Passo 5
Provar que não existem outros valores de aderência além de
e
.
Seja qualquer subsequência que converge, digamos
. Note que
Seja
Como
, isto implica que
Logo a sequência
converge para
. Mas
só pode assumir os valores
e
. Uma sequência que toma apenas os valores
e
e que converge tem de ser, a partir de algum índice, constante (caso contrário não poderia se aproximar de um único número), portanto o limite
só pode ser
ou
.
Portanto nenhum outro
além de
e
pode ser limite de uma subsequência de
.
Passo 6
Conclusão final e interpretação.
Encontramos duas subsequências convergentes com limites diferentes ( e
) e provamos que qualquer subsequência convergente só pode ter limite
ou
. Assim o conjunto de valores de aderência é exatamente
.
Encontramos duas subsequências convergentes com limites diferentes (
Força aí nos estudos — sequência com termo oscilante + termo que vai a zero costuma dar exatamente esse tipo de comportamento: um aderente para cada “nível” do oscilante.