Determine para quais valores de x \in \mathbb{R} a função f(x) dada a seguir é contínua.
f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1, \text { se } x<0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \\\ x, \text { se } x>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} -1, & \text{se } x<0,\\[4pt] 0, & \text{se } x=0,\\[4pt] x, & \text{se } x>0, \end{cases}
e pergunta: para quais valores de x\in\mathbb{R} a função f é contínua?
Informações relevantes fornecidas:
  • Para todo x<0 vale f(x)=-1.
  • Em x=0 vale f(0)=0.
  • Para todo x>0 vale f(x)=x.]

Passo 2

Lembrete (definição de continuidade num ponto): a função f é contínua em um ponto a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isto significa que a todos os valores de tolerância \varepsilon>0 corresponde um \delta>0 tal que |f(x)-f(a)|<\varepsilon sempre que 0<|x-a|<\delta.
Observação prática: quando o ponto a é interior de um intervalo onde a função tem uma única expressão (por exemplo, toda a vizinhança à esquerda e à direita usam a mesma definição), normalmente basta usar propriedades conhecidas (constante é contínua, identidade é contínua). Para pontos que são fronteiras entre partes (aqui x=0) é preciso comparar os limites laterais \lim_{x\to 0^-}f(x) e \lim_{x\to 0^+}f(x).

Passo 3

Verificar continuidade para x<0.
Seja a com a<0. Escolho \delta_0=\dfrac{-a}{2}>0. Então, se |x-a|<\delta_0 segue que x está no intervalo (a-\delta_0,a+\delta_0)\subset(-\infty,0). Nessa vizinhança temos sempre f(x)=-1 e também f(a)=-1. Logo |f(x)-f(a)|=|-1-(-1)|=0<\varepsilon para todo \varepsilon>0. Isso mostra, pelo critério \varepsilon- \delta, que f é contínua em qualquer ponto a<0.
Explicação intuitiva e curta: função constante -1 em (-\infty,0) é contínua em todos os pontos desse intervalo.

Passo 4

Verificar continuidade para x>0.
Seja a com a>0. Queremos mostrar \lim_{x\to a} f(x)=f(a), e aqui f(x)=x quando estamos próximos de a mantendo x>0. Para garantir que os pontos considerados fiquem com x>0, escolhemos \delta_1=\dfrac{a}{2}>0. Assim, se |x-a|<\delta_1 então x>0 e vale f(x)=x.
Agora usamos que a função identidade g(x)=x é contínua: dado \varepsilon>0 basta tomar \delta=\min\{\delta_1,\varepsilon\}. Se 0<|x-a|<\delta então
|f(x)-f(a)|=|x-a|<\varepsilon.
Logo \lim_{x\to a}f(x)=f(a) e f é contínua em qualquer a>0.
Explicação intuitiva: a parte f(x)=x é a função identidade, que é contínua em todos os pontos; tomando \delta pequeno evita cruzar x=0.

Passo 5

Verificar continuidade em x=0 (ponto de junção das duas expressões).
Calculamos os limites laterais:
  • Limiar pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} (-1)=-1,
pois para x<0 a função vale sempre -1.
  • Limiar pela direita:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} x=0,
pois para x>0 a função é f(x)=x e a identidade tende a 0 quando x\to0^+.
Como -1\neq 0, os limites laterais não coincidem, portanto o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Mesmo que f(0)=0, a existência do limite bilateral é necessária para continuidade; logo f não é contínua em x=0.

Passo 6

Conclusão e comentário final: verificamos que f é contínua em todo ponto x\neq 0 (pelas razões dos passos 3 e 4) e é descontínua em x=0 (passo 5). Força aí nos estudos — problema clássico de função por partes, o truque é sempre checar limites laterais no ponto de mudança.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{0\}