Determine vec{x}\) de modo que: \(\begin{cases}\vec{x} \times(2,-1,3) & =\overrightarrow{0} \\\ \langle\vec{x},(1,2,-2)\rangle & =12\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{x} que satisfaça duas condições:
  1. \vec{x}\times(2,-1,3)=\overrightarrow{0}
  2. \langle\vec{x},(1,2,-2)\rangle=12
    O conteúdo aqui é interpretação de produto vetorial (que anula se os vetores são paralelos) e uso do produto escalar para determinar o parâmetro de proporcionalidade.

Passo 2

Como \vec{x}\times(2,-1,3)=\overrightarrow{0}, concluímos que \vec{x} é paralelo a (2,-1,3). Logo existe um escalar t tal que
\vec{x} = t\,(2,-1,3).

Passo 3

Usamos a segunda condição, o produto escalar:
\langle\vec{x},(1,2,-2)\rangle = \langle t\,(2,-1,3),\,(1,2,-2)\rangle = t\;\bigl((2)(1)+(-1)(2)+(3)(-2)\bigr).
Calculando dentro do parêntese temos
2 - 2 - 6 = -6,
então
t\cdot(-6)=12 \quad\Longrightarrow\quad t = -2.

Passo 4

Substituindo t=-2 em \vec{x}=t\,(2,-1,3), obtemos
\vec{x} = -2\,(2,-1,3) = (-4,2,-6).

Resposta

\displaystyle(-4,2,-6)

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