Determine a velocidade e aceleração do sistema superamortecido:
x(t)=C1 e^(-zeta+raizzeta^2-1) omegan t+C2 e^(-zeta-raizzeta^2-1) omegan t C1=x0 omegan(zeta+raizzeta^2-1)+dotx02 omegan raizzeta^2-1 C2=-x0 omegan(zeta-raizzeta^2-1)-dotx02 omegan raizzeta^2-1

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente achar a velocidade e a aceleração de um sistema superamortecido, ou seja, um segundo-grau com coeficiente de amortecimento ζ>1.
Conteúdo: solução geral de equação diferencial linear 2ª ordem e derivação de exponenciais (regra da cadeia).
O que vamos precisar:
  • A expressão de x(t) em função de e .
  • Saber que, se , então (regra da cadeia).

Passo 2

Primeiro, pra ficar mais organizado, define:
lambda1 = l(-zeta + raizzeta^2-1r),omegan e lambda2 = l(-zeta - raizzeta^2-1r),omegan
Então a solução é
x(t) = C1,e^lambda1 t ;+; C2,e^lambda2 t
Aí, usando a regra da cadeia, a velocidade é a derivada desse x(t).

Passo 3

Derivando termo a termo:
dot x(t) = ddtl[C1,e^lambda1 tr] + ddtl[C2,e^lambda2 tr] = C1,lambda1,e^lambda1 t + C2,lambda2,e^lambda2 t
Isso porque, como dissemos, .

Passo 4

Agora a aceleração é a derivada de ddot x(t) = ddtl[C1,lambda1,e^lambda1 tr] + ddtl[C2,lambda2,e^lambda2 tr] = C1,lambda1^2,e^lambda1 t + C2,lambda2^2,e^lambda2 t . Repetindo o mesmo truque:

Resposta

boxed dot x(t) &= C1,l(-zeta + raizzeta^2-1r),omegan;e^l(-zeta + raizzeta^2-1r)omegan t + C2,l(-zeta - raizzeta^2-1r),omegan;e^l(-zeta - raizzeta^2-1r)omegan t, ddot x(t) &= C1,l(-zeta + raizzeta^2-1r)^2,omegan^2;e^l(-zeta + raizzeta^2-1r)omegan t + C2,l(-zeta - raizzeta^2-1r)^2,omegan^2;e^l(-zeta - raizzeta^2-1r)omegan t

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