Determine a velocidade do cilindro B se o cilindro A se move para baixo com uma velocidade de v_{A}=4.0 \mathrm{ft} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá um único cabo contínuo que está preso em F, passa por baixo da roldana móvel D (ligada ao cilindro B), sobe e passa sobre a roldana fixa E, desce e passa por baixo da roldana móvel C (ligada ao cilindro A) e finalmente se prende ao teto. O que precisamos é usar a condição de comprimento constante do cabo para relacionar as velocidades de D e C, lembrando que o cilindro B move-se com a roldana D e o cilindro A move-se com a roldana C.

Passo 2

Escolhemos duas coordenadas positivas para baixo: y_D para a roldana D e y_C para a roldana C. O cabo tem quatro trechos variáveis:
– Do ponto fixo F até D (varia com y_D).
– De D até a roldana fixa E (varia com y_D).
– De E até C (varia com y_C).
– De C até o ponto de fixação no teto (varia com y_C).
Como cada vez que D desce uma distância \Delta y_D ambos os trechos ligados a D (antes e depois dela) alongam-se em \Delta y_D, a variação total do comprimento do cabo devido a D é 2\,\Delta y_D. Analogamente, a roldana C contribui com 2\,\Delta y_C.

Passo 3

Como o comprimento total do cabo é constante, a soma das variações é zero:
2\,\Delta y_D \;+\;2\,\Delta y_C \;=\;0.
Dividindo por \Delta t e passando ao limite, fica
2\,v_D \;+\;2\,v_C \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad v_D + v_C = 0.

Passo 4

Reconhecemos que
v_B = v_D \quad\text{e}\quad v_A = v_C.
Logo,
v_B + v_A = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_B = -\,v_A.
Como foi dado v_A = 4{,}0,ft/s para baixo (sinal positivo para baixo), o sinal negativo diz que v_B é para cima.

Resposta

A velocidade do cilindro B é 4{,}0,ft/s para cima.

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