O carro está se movendo ao longo da estrada com velocidade v=(2 s) m / s, onde s está em metros. Determine a magnitude de sua aceleração quando s=10 m.

Passo 1

O enunciado diz que o carro se desloca ao longo de uma curva de raio de curvatura constante \rho = 50 m, com velocidade escalar
v(s) = 2\,s\\ \mathrm{m/s},
onde s é o deslocamento ao longo da estrada (em m). Queremos a magnitude da aceleração em s=10 m. Vamos usar a decomposição em componentes tangencial e normal:
\vec a = a_t\,\bm t + a_n\,\bm n,
com
a_t = \dot v \quad\text{e}\quad a_n = \frac{v^2}{\rho}.

Passo 2

Calculamos a aceleração tangencial a_t. Como v está dada em função de s,
a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds}\,\frac{ds}{dt} = \frac{dv}{ds}\,v.
Da expressão v(s)=2\,s segue
\frac{dv}{ds} = 2,
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a_t = 2\,v = 2\,(2\,s)=4\,s.
Em s=10 m,
a_t = 4\cdot10 = 40\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Agora a aceleração normal a_n:
a_n = \frac{v^2}{\rho} = \frac{(2\,s)^2}{50} = \frac{4\,s^2}{50}.
Em s=10 m,
a_n = \frac{4\cdot(10)^2}{50} = \frac{400}{50} = 8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

A magnitude da aceleração é
a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{40^2 + 8^2} = \sqrt{1600 + 64} = \sqrt{1664} \approx 40,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

A magnitude da aceleração quando s=10 m é aproximadamente 40,8\\ \mathrm{m/s^2}.

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