Determine se o vetor \mathbf{b} pertence ao conjunto gerado pelas colunas da matriz A.
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
e o vetor
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}5 \\\\ 6\end{pmatrix}
e pede para verificar se \mathbf{b} pertence ao espaço gerado pelas colunas de A. Em outras palavras, estamos procurando escalares x_1 e x_2 tais que
A\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = \mathbf{b}.
Isso equivale a resolver um sistema de duas equações lineares em duas incógnitas.

Passo 2

Escrevemos o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} componente a componente:
\begin{cases} 1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 = 5,\\\\ 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 = 6. \end{cases}

Passo 3

Isolamos x_1 na primeira equação:
x_1 = 5 - 2x_2
e substituímos na segunda equação:
3(5 - 2x_2) + 4x_2 = 6.

Passo 4

Resolvendo para x_2:
15 - 6x_2 + 4x_2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad -2x_2 = -9 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = \tfrac{9}{2}.
Então
x_1 = 5 - 2\cdot\tfrac{9}{2} = 5 - 9 = -4.

Passo 5

Encontramos \bigl(x_1,x_2\bigr) = \bigl(-4,\tfrac{9}{2}\bigr), ou seja,
\mathbf{b} = -4\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} + \frac{9}{2}\begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix}.
Como existe solução para A\mathbf{x}=\mathbf{b}, concluímos que \mathbf{b} está no espaço gerado pelas colunas de A.

Resposta

Sim, \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A. Em particular,
\mathbf{b} = -4\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} + \frac{9}{2}\begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix}.

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