1. Determine um vetor unitário na direção de:
(3,4)

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos. O enunciado pede: determinar um vetor unitário na direção do vetor dado. O vetor fornecido é (3,4). Ou seja, temos:
  • Vetor dado: \mathbf{v}=(3,4).
  • Pedido: encontrar um vetor unitário (comprimento igual a 1) que tenha a mesma direção de \mathbf{v}.

Passo 2

O que é um vetor unitário e como obtê-lo (a ideia geral). Um vetor unitário é um vetor com norma (módulo, comprimento) igual a 1. Para transformar qualquer vetor \mathbf{v} numa versão unitária na mesma direção, usa-se a operação chamada de normalização: dividir o vetor pela sua norma. Em fórmula:
\mathbf{\hat{u}}=\frac{\mathbf{v}}{\lVert \mathbf{v}\rVert},
onde \lVert \mathbf{v}\rVert representa a norma (comprimento) do vetor \mathbf{v}. Essa fórmula significa que cada componente de \mathbf{v} é dividida por \lVert \mathbf{v}\rVert.

Passo 3

Como calcular a norma de um vetor em \mathbb{R}^2. Para um vetor \mathbf{v}=(x,y), a norma euclidiana é dada por:
\lVert \mathbf{v}\rVert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui, x e y são as componentes do vetor; a fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes.

Passo 4

Calcular a norma do vetor \mathbf{v}=(3,4). Aplicando a fórmula:
\lVert \mathbf{v}\rVert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Portanto o comprimento do vetor (3,4) é \,5.

Passo 5

Normalizar o vetor dividindo cada componente pela norma. Usando \mathbf{\hat{u}}=\dfrac{\mathbf{v}}{\lVert \mathbf{v}\rVert}:
\mathbf{\hat{u}}=\frac{1}{5}(3,4)=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Esse é o vetor na mesma direção, com comprimento reduzido para 1.

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza na prova). Calcular a norma do vetor encontrado para confirmar que é unitário:
\lVert \mathbf{\hat{u}}\rVert=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=\sqrt{1}=1.
Tudo certo: é um vetor de norma 1.

Passo 7

Dica prática para a prova. Sempre calcule a norma pelo Teorema de Pitágoras; se as componentes formarem um triângulo pitagórico (como 3,4,5), a conta fica muito rápida. Em geral, para qualquer vetor \mathbf{v}=(x,y), o vetor unitário é \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right). Respire fundo: esse procedimento é curto e seguro na prova.

Resposta

\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)