Determine se você faria um censo ou usaria amostragem. Se escolhesse amostragem, decida qual técnica usaria. Explique.
A cor de carro mais popular entre 25.000 estudantes de uma universidade.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Objetivo pedido: determinar se deve ser feito um censo (pesquisar todos os estudantes) ou usar amostragem para descobrir qual é a cor de carro mais popular entre os estudantes da universidade; se escolher amostragem, decidir qual técnica usar e explicar.
  • Informação fornecida: população total de estudantes N = 25000.
  • Não há outras informações (por exemplo, orçamento, tempo, disponibilidade de cadastro dos alunos, heterogeneidade por cursos/turnos). Portanto é preciso considerar cenários práticos e justificar a escolha com base em custos e precisão desejada.

Passo 2

Análise simples: vantagens e desvantagens de censo versus amostragem
  • Censo (entrevistar todos os N=25000 estudantes):
    • Vantagens: obtém a resposta “verdadeira” da população (sem erro amostral); ideal se houver recursos ilimitados.
    • Desvantagens: alto custo, muito tempo, logística complexa (listar todos, contatar, lidar com não-resposta), muitas vezes desnecessário quando uma amostra bem feita dá precisão suficiente.
  • Amostragem:
    • Vantagens: menor custo, mais rápido, praticável; com amostragem correta pode-se estimar a proporção da cor mais popular com margem de erro controlada.
    • Desvantagens: existe erro amostral (controlável); exige desenho amostral adequado para evitar vieses (ex.: seleção conveniente é ruim).
Comentário prático e empático: como normalmente em provas e em projetos reais não dispomos de recursos para entrevistar 25{,}000 pessoas, a amostragem é quase sempre a escolha sensata — desde que bem feita.

Passo 3

Decisão principal (resposta direta e intuitiva)
  • Recomendo usar amostragem, salvo se houver orçamento, tempo e pessoal sobrando para fazer o censo. Em praticamente todos os cenários universitários reais, amostragem estratificada é preferível porque reduz erro e garante representação de subgrupos (ex.: cursos, turno, campus) que podem ter padrões diferentes de cor de carro.

Passo 4

Por que escolher amostragem estratificada (explicando o conceito)
  • O que é amostragem estratificada: dividir a população em grupos não sobrepostos chamados estratos (por exemplo: faculdades, cursos, turno manhã/tarde/noite, gênero, campus) que sejam internamente mais homogêneos quanto à cor de carro. Em cada estrato sorteia-se aleatoriamente uma amostra.
  • Por que é boa aqui:
    • Se autores/turnos/cursos diferentes tiverem preferências distintas, estratificar reduz a variabilidade da estimativa em comparação com amostra aleatória simples.
    • Permite garantia de representação: evita que um curso grande domine a amostra e que cursos pequenos fiquem sem representantes.
  • Exemplo concreto de estratos: dividir por faculdade ou por turno, dependendo do que for mais fácil de obter do cadastro da universidade.

Passo 5

Como calcular o tamanho de amostra (fórmula e explicação didática)
  • Objetivo de amostra: estimar proporções (a proporção de estudantes que têm cada cor de carro). Para estimar uma proporção com margem de erro controlada, usa-se a fórmula (sem correção populacional) para o tamanho amostral n_0:
n_0 = \dfrac{z^2\,p(1-p)}{E^2},
onde:
  • z é o quantil da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado (por exemplo, para 95\% de confiança, z\approx 1{,}96);
  • p é uma estimativa inicial da proporção desconhecida; quando não se tem ideia, usa-se o valor conservador p=0{,}5 (maximiza a variância e, portanto, o n_0);
  • E é a margem de erro absoluta desejada (por exemplo E=0{,}03 para 3\%).
  • Explicando em palavras: a fórmula vem de igualar o erro máximo do intervalo de confiança z\sqrt{p(1-p)/n} a E e resolver para n.

Passo 6

Aplicação numérica (exemplo prático que dá um n a usar na prova)
  • Supondo que desejamos 95\% de confiança e margem de erro E=3\% ( E=0{,}03), e usando o valor conservador p=0{,}5:
n_0 = \dfrac{1{,}96^2 \cdot 0{,}5(1-0{,}5)}{0{,}03^2} = \dfrac{1{,}96^2 \cdot 0{,}25}{0{,}0009} = \dfrac{0{,}9604}{0{,}0009}\approx 1067{,}1.
  • Como a população é finita ( N=25000), aplica-se a correção para população finita (FPC):
n = \dfrac{N n_0}{N + n_0 - 1}.
Substituindo:
n \approx \dfrac{25000 \times 1067{,}1}{25000 + 1067{,}1 - 1} \approx 1024.
  • Interpretação: uma amostra de aproximadamente n\approx 1024 alunos, selecionada de forma adequada, dará um erro de cerca de 3\% nos estimadores de proporção com 95\% de confiança (assumindo resposta adequada).
Observação prática: se se aceita margem de erro maior (por exemplo E=5\%), o n cai bastante; para E=5\% e mesmas suposições:
n_0 = \dfrac{1{,}96^2 \cdot 0{,}25}{0{,}05^2} \approx 384,
com FPC fica n\approx 377. Então escolha de E depende de quanto precisão é necessária e do custo.

Passo 7

Como alocar a amostra entre estratos (proporcional e outras opções)
  • Alocação proporcional (simples e boa quando não se tem variâncias estratificadas): em cada estrato h com N_h elementos, toma-se
n_h = \frac{N_h}{N}\,n.
  • Alocação por Neyman (ótima quando se conhece ou estima a variância dentro de cada estrato): dá mais amostras a estratos mais heterogêneos. Fórmula:
n_h \propto N_h S_h,
onde S_h é o desvio-padrão dentro do estrato (para proporções S_h=\sqrt{p_h(1-p_h)}).
  • Na prática de prova: explique que, se não tiver estimativas de S_h, usar alocação proporcional é aceitável e simples de aplicar.

Passo 8

Procedimento prático passo a passo para a coleta (o que você faria na prova/na prática)
  1. Obter lista de estudantes com estratos desejados (ex.: N_h por faculdade/turno).
  2. Calcular n usando a fórmula do Passo 6 com a margem de erro e nível de confiança escolhidos.
  3. Calcular n_h por estrato (proporcional) e arredondar (ajustar para total n).
  4. Dentro de cada estrato, sortear aleatoriamente os n_h alunos (lista e gerador de números aleatórios ou sorteio manual).
  5. Aplicar o questionário: perguntar apenas “Qual a cor do seu carro?” com opções padronizadas; registrar respostas.
  6. Tratar não-respostas: reservar uma taxa de reposição (por exemplo, aumentar o n esperado em 10\% se prever faltas) ou fazer reamostragem no estrato.
  7. Calcular proporções amostrais \hat p_j para cada cor j: \hat p_j = x_j/n, onde x_j é o número de respostas da cor j.
  8. Construir intervalos de confiança para cada proporção (com FPC, se necessário):
\text{SE}(\hat p_j) = \sqrt{\dfrac{\hat p_j(1-\hat p_j)}{n}}\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}},
\text{IC}_{95\%}(\hat p_j) = \hat p_j \pm 1{,}96\cdot \text{SE}(\hat p_j).
  1. Determinar a cor mais popular olhando a maior \hat p_j. Para avaliar se a diferença é estatisticamente significativa, verificar se os ICs das duas maiores cores se sobrepõem muito; para teste formal pode-se aplicar teste de diferença de proporções (se necessário).

Passo 9

Questões práticas e recomendações finais (para a prova e para o campo)
  • Se tiver tempo/recurso suficiente e objetivo for listar todas as cores exatas por curso, estratificar por curso é melhor. Se apenas quiser ordem geral, estratificação por faculdade/turno é suficiente.
  • Se não houver cadastro para sortear nomes, usar amostragem por clusters (sortear turmas e entrevistar todos da turma) pode ser mais barato, mas aumenta variância — então aumente a amostra ou use mais clusters.
  • Sempre prever e documentar tratamento de não-resposta e como as cores serão categorizadas (ex.: combinar “prata” e “prateado” como a mesma categoria).
  • Em provas, mostre justificativa prática (custo/time) e faça o cálculo de n para demonstrar compreensão.

Resposta

Usaria amostragem (não censo): amostragem estratificada proporcional (estratos: por exemplo faculdades ou turno) com sorteio aleatório dentro de cada estrato. Para precisão numérica, se desejar margem de erro E=3\% e nível de confiança 95\%, o tamanho de amostra aproximado é n\approx 1024 (usando p=0{,}5 conservador e correção para população finita).

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