Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno a reta indicada, da região limitada pelas seguintes curvas:
y=e^x, 1 <=ss x <=ss 2; a reta y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta y=1, a região limitada pelas curvas y=e^x, pela reta horizontal y=1 e pelas retas verticais x=1 e x=2. O conteúdo é cálculo de volume de revolução usando o método dos discos (ou arruelas).

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, tomamos uma fatia vertical em x. Essa fatia, ao girar em torno de y=1, gera um disco de raio
R(x)=l(e^x-1r),
pois a distância vertical de y=e^x até o eixo y=1 é e^x-1. Como a região está acima de y=1, não há furo interno, logo o raio interno é zero.

Passo 3

O volume elementar é
dV = pil[R(x)r]^2,dx = pil(e^x-1r)^2dx
Integramos de x=1 a x=2:
V = integral1^2pil(e^x-1r)^2dx = piintegral1^2l(e^2x-2e^x+1r)dx

Passo 4

Calculemos o integral:
integrall(e^2x-2e^x+1r)dx = 12e^2x-2e^x+x + C
Aplicando os limites de 1 a 2,
l[tfrac12e^2x-2e^x+xr]1^2 = l(tfrac12e^4-2e^2+2r) -l(tfrac12e^2-2e^1+1r)

Passo 5

Simplificando:
tfrac12e^4-2e^2+2 - tfrac12e^2+2e-1 = tfrac12e^4 -tfrac52e^2 +2e +1
Portanto
V = pil(tfrac12e^4-tfrac52e^2+2e+1r) = pi2l(e^4-5e^2+4e+2r)

Resposta

V = pi2l(e^4-5e^2+4e+2r)

Exercícios relacionados