Determine whether each matrix is in row-echelon form. If it is, determine whether the matrix is also in reduced row-echelon form
e. \left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right]
e pede duas coisas:
  • Verificar se A está em forma escalonada por linhas (row-echelon form).
  • Se estiver, verificar também se A está em forma escalonada reduzida por linhas (reduced row-echelon form).
Informações dadas: os três vetores-linha são
\text{linha}_1=(1,\;2,\;-3,\;4),\qquad \text{linha}_2=(0,\;2,\;1,\;-1),\qquad \text{linha}_3=(0,\;0,\;1,\;-3).

Passo 2

O que significa estar em forma escalonada por linhas (RE)? Vou explicar com calma, passo a passo:
  • Regra (a): Todas as linhas nulas (se houver) devem ficar abaixo das linhas não-nulas. Aqui não há linha nula, então essa condição é verificada automaticamente.
  • Regra (b): Em cada linha não-nula existe um primeiro elemento não-nulo chamado pivô (leading entry). O pivô de uma linha abaixo deve estar em coluna estritamente à direita do pivô da linha acima. Em outras palavras, os pivôs “avançam para a direita” conforme descemos as linhas.
  • Regra (c): Todos os elementos abaixo de um pivô devem ser zeros.
Agora o que é forma escalonada reduzida por linhas (RREF)? É RE mais estas condições extras:
  • Cada pivô tem valor 1.
  • Cada coluna que contém um pivô tem zeros em todas as outras entradas (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô), de modo que o pivô seja o único elemento não-nulo nessa coluna.
Vou usar essas definições explicitamente na verificação.

Passo 3

Identificar os pivôs de A e checar as regras do RE.
  • Linha 1: o primeiro elemento não-nulo é 1 na coluna 1. Então o pivô da linha 1 está na coluna 1.
  • Linha 2: a linha começa com 0, o primeiro não-nulo é 2 na coluna 2. Pivô da linha 2 está na coluna 2.
  • Linha 3: os dois primeiros elementos são 0, o primeiro não-nulo é 1 na coluna 3. Pivô da linha 3 está na coluna 3.
Verificações:
  • Não há linhas nulas, então a regra (a) está OK.
  • Os pivôs aparecem nas colunas 1,2,3 em ordem estritamente crescente da linha 1 para a 3 (coluna 1 → coluna 2 → coluna 3), portanto a regra (b) está satisfeita.
  • Verificar zeros abaixo dos pivôs:
    • Abaixo do pivô em coluna 1 (linha 1) aparecem 0 e 0 nas linhas 2 e 3 nas posições correspondentes — OK.
    • Abaixo do pivô em coluna 2 (linha 2) a entrada na linha 3, coluna 2 é 0 — OK.
    • Não há linhas abaixo do pivô em coluna 3 (linha 3) — OK.
      Portanto todas as condições de forma escalonada por linhas são satisfeitas.
Conclusão desta etapa: A está em forma escalonada por linhas (row-echelon form).

Passo 4

Verificar se A está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Lembro as condições extras para RREF:
  • Cada pivô deve ser 1.
  • Em cada coluna de pivô, todas as outras entradas (acima e abaixo) devem ser 0.
Aplicando às colunas dos pivôs de A:
  • Pivô da linha 1 (coluna 1) é 1. Na coluna 1 não há outros elementos não-nulos, então essa coluna está boa.
  • Pivô da linha 2 (coluna 2) é 2. Aqui já há um problema: o pivô NÃO é 1 2). Isso viola a primeira condição de RREF.
    Além disso, verificar a coluna do pivô da linha 3 (coluna 3): o pivô é 1, mas na coluna 3 existe -3 na linha 1 (ou seja, um elemento não-nulo acima do pivô). Isso viola a segunda condição de RREF (o pivô deveria ser o único elemento não-nulo na sua coluna).
Como basta uma violação para concluir que não é RREF, concluímos: A não está em forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 5

Para aprender na prática: vou mostrar como transformar A em RREF usando operações elementares (isso também ensina como verificar de forma prática as condições acima). Operações permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, somar múltiplos de uma linha a outra.
Começamos com
A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right].
  1. Tornar o pivô da linha 2 igual a 1: dividir a linha 2 por 2.
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_2
Resultado:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right].
Explicação: agora a segunda linha tem pivô 1, o que é requisito de RREF, mas ainda precisamos zerar os outros elementos na coluna 2.
  1. Eliminar o 2 acima do pivô da coluna 2: fazer R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
    Cálculo da nova linha 1:
(1,\;2,\;-3,\;4) - 2\cdot(0,\;1,\;\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2}) = (1,\;0,\;-4,\;5).
Matriz:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -4 & 5 \\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right].
  1. Eliminar os elementos não nulos nas colunas de pivô da linha 3 (pivô em coluna 3 já é 1):
  • Zerar o \tfrac{1}{2} em R_2, coluna 3: fazer R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{2}R_3.
    Cálculo:
\left(0,\;1,\;\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2}\right) - \tfrac{1}{2}\cdot\left(0,\;0,\;1,\;-3\right) = \left(0,\;1,\;0,\;1\right).
  • Zerar o -4 em R_1, coluna 3: fazer R_1 \leftarrow R_1 + 4R_3.
    Cálculo:
(1,\;0,\;-4,\;5) + 4\cdot(0,\;0,\;1,\;-3) = (1,\;0,\;0,\;-7).
Resultado final em RREF:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & -7 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right].
Observações finais sobre a transformação: este processo mostra por que a matriz original não era RREF — porque foi preciso dividir R_2 por 2 e eliminar entradas acima do pivô de coluna 3. Na forma reduzida final, cada pivô é 1 e é o único elemento não-nulo em sua coluna.

Passo 6

Resumo prático e um empurrãozinho final: para checar rapidamente em prova se uma matriz está em RREF, percorra as colunas em busca dos pivôs — cada pivô deve ser 1 e a única entrada não-nula naquela coluna. Se qualquer pivô não for 1 ou existir um não-zero acima dele, então não está em RREF (mesmo que esteja em RE). Você já entendeu o procedimento e viu um exemplo completo de como transformar a matriz; tá indo bem — respira fundo e bora praticar mais uns exercícios assim!

Resposta

Está em forma escalonada por linhas: Sim
Está em forma escalonada reduzida por linhas: Não