Determine whether each matrix is in row-echelon form. If it is, determine whether the matrix is also in reduced row-echelon form
e. \left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right]
O que significa estar em forma escalonada por linhas (RE)? Vou explicar com calma, passo a passo:
Regra (a): Todas as linhas nulas (se houver) devem ficar abaixo das linhas não-nulas. Aqui não há linha nula, então essa condição é verificada automaticamente.
Regra (b): Em cada linha não-nula existe um primeiro elemento não-nulo chamado pivô (leading entry). O pivô de uma linha abaixo deve estar em coluna estritamente à direita do pivô da linha acima. Em outras palavras, os pivôs “avançam para a direita” conforme descemos as linhas.
Regra (c): Todos os elementos abaixo de um pivô devem ser zeros.
Agora o que é forma escalonada reduzida por linhas (RREF)? É RE mais estas condições extras:
Cada pivô tem valor 1.
Cada coluna que contém um pivô tem zeros em todas as outras entradas (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô), de modo que o pivô seja o único elemento não-nulo nessa coluna.
Vou usar essas definições explicitamente na verificação.
Passo 3
Identificar os pivôs de A e checar as regras do RE.
Linha 1: o primeiro elemento não-nulo é 1 na coluna 1. Então o pivô da linha 1 está na coluna 1.
Linha 2: a linha começa com 0, o primeiro não-nulo é 2 na coluna 2. Pivô da linha 2 está na coluna 2.
Linha 3: os dois primeiros elementos são 0, o primeiro não-nulo é 1 na coluna 3. Pivô da linha 3 está na coluna 3.
Verificações:
Não há linhas nulas, então a regra (a) está OK.
Os pivôs aparecem nas colunas 1,2,3 em ordem estritamente crescente da linha 1 para a 3 (coluna 1 → coluna 2 → coluna 3), portanto a regra (b) está satisfeita.
Verificar zeros abaixo dos pivôs:
Abaixo do pivô em coluna 1 (linha 1) aparecem 0 e 0 nas linhas 2 e 3 nas posições correspondentes — OK.
Abaixo do pivô em coluna 2 (linha 2) a entrada na linha 3, coluna 2 é 0 — OK.
Não há linhas abaixo do pivô em coluna 3 (linha 3) — OK.
Portanto todas as condições de forma escalonada por linhas são satisfeitas.
Conclusão desta etapa: A está em forma escalonada por linhas (row-echelon form).
Passo 4
Verificar se A está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Lembro as condições extras para RREF:
Cada pivô deve ser 1.
Em cada coluna de pivô, todas as outras entradas (acima e abaixo) devem ser 0.
Aplicando às colunas dos pivôs de A:
Pivô da linha 1 (coluna 1) é 1. Na coluna 1 não há outros elementos não-nulos, então essa coluna está boa.
Pivô da linha 2 (coluna 2) é 2. Aqui já há um problema: o pivô NÃO é 1 (é 2). Isso viola a primeira condição de RREF.
Além disso, verificar a coluna do pivô da linha 3 (coluna 3): o pivô é 1, mas na coluna 3 existe -3 na linha 1 (ou seja, um elemento não-nulo acima do pivô). Isso viola a segunda condição de RREF (o pivô deveria ser o único elemento não-nulo na sua coluna).
Como basta uma violação para concluir que não é RREF, concluímos: A não está em forma escalonada reduzida por linhas.
Passo 5
Para aprender na prática: vou mostrar como transformar A em RREF usando operações elementares (isso também ensina como verificar de forma prática as condições acima). Operações permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, somar múltiplos de uma linha a outra.
Observações finais sobre a transformação: este processo mostra por que a matriz original não era RREF — porque foi preciso dividir R_2 por 2 e eliminar entradas acima do pivô de coluna 3. Na forma reduzida final, cada pivô é 1 e é o único elemento não-nulo em sua coluna.
Passo 6
Resumo prático e um empurrãozinho final: para checar rapidamente em prova se uma matriz está em RREF, percorra as colunas em busca dos pivôs — cada pivô deve ser 1 e a única entrada não-nula naquela coluna. Se qualquer pivô não for 1 ou existir um não-zero acima dele, então não está em RREF (mesmo que esteja em RE). Você já entendeu o procedimento e viu um exemplo completo de como transformar a matriz; tá indo bem — respira fundo e bora praticar mais uns exercícios assim!
Resposta
Está em forma escalonada por linhas: Sim
Está em forma escalonada reduzida por linhas: Não