Determine whether each matrix is in row-echelon form. If it is, determine whether the matrix is also in reduced row-echelon form
f. \left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a matriz abaixo está em row-echelon form (forma escalonada por linhas) e, se estiver, verificar se também está em reduced row-echelon form (forma escalonada reduzida por linhas).
que tem \,3 linhas e \,4 colunas. As perguntas são:
A matriz A está em row-echelon form?
Se sim, A está em reduced row-echelon form?]
Passo 2
Vou lembrar, de forma clara e didática, o que significa estar em row-echelon form. Uma matriz está em row-echelon form se satisfaz três condições:
Todas as linhas que são totalmente zero aparecem abaixo de todas as linhas que não são zero.
Em cada linha não nula existe um primeiro elemento não zero (chamado de leading entry ou pivô) e, ao descer pelas linhas, a posição do pivô de cada linha fica estritamente mais à direita que o pivô da linha anterior.
Todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros (ou seja, em cada coluna de pivô, os elementos abaixo do pivô são zero).
Vou usar essas condições uma a uma para verificar A.
Passo 3
Identificar as linhas nulas e os pivôs (leading entries) de A.
A linha \,1 é \,(0,1,0,5). O primeiro elemento não zero da linha 1 está na coluna \,2 e vale \,1. Logo o pivô da linha 1 está na posição (1,2) e é \,1.
A linha \,2 é \,(0,0,1,3). O primeiro elemento não zero da linha 2 está na coluna \,3 e vale \,1. Logo o pivô da linha 2 está na posição (2,3) e é \,1.
A linha \,3 é \,(0,0,0,0), que é uma linha nula.
Passo 4
Verificar a condição 1 (linhas nulas em baixo): A linha nula é a linha \,3 e ela está abaixo das linhas não nulas (\,1 e \,2). Portanto a condição 1 está satisfeita.
Passo 5
Verificar a condição 2 (pivôs deslocados para a direita quando descemos as linhas): o pivô da linha \,1 está na coluna \,2 e o pivô da linha \,2 está na coluna \,3. Como \,2<3, o pivô da linha 2 está mais à direita que o da linha 1. Portanto a condição 2 está satisfeita.
Passo 6
Verificar a condição 3 (elementos abaixo dos pivôs são zero):
Coluna do pivô da linha \,1 é a coluna \,2. Os elementos abaixo do pivô em coluna \,2 são: entrada (2,2)=0 e entrada (3,2)=0. Ambas são zeros.
Coluna do pivô da linha \,2 é a coluna \,3. O elemento abaixo do pivô em coluna \,3 é entrada (3,3)=0. É zero.
Logo todos os elementos abaixo dos pivôs são zeros, então a condição 3 está satisfeita.
Passo 7
Como as três condições de row-echelon form foram verificadas, concluímos que A está em row-echelon form.
Agora vou revisar o que é required para reduced row-echelon form (RREF) e testar isso.
Passo 8
Definição prática de reduced row-echelon form: uma matriz está em reduced row-echelon form se,
Está em row-echelon form (já verificado);
Cada pivô vale \,1 (ou seja, leading entries são iguais a \,1);
Em cada coluna que contém um pivô, esse pivô é o único elemento não zero da coluna (ou seja, todos os outros elementos na mesma coluna são zeros, tanto acima quanto abaixo do pivô).
Vou checar as condições 2 e 3 acima.
Passo 9
Verificar condição 2 de RREF (pivôs iguais a \,1):
Pivô em (1,2) é \,1.
Pivô em (2,3) é \,1.
Portanto todos os pivôs valem \,1.
Passo 10
Verificar condição 3 de RREF (cada pivô é o único não-zero na sua coluna):
Na coluna \,2 os elementos são \,(1,) na linha \,1 e zeros nas linhas \,2 e \,3. Ou seja, a coluna \,2 tem exatamente um não-zero, o pivô \,1 em (1,2).
Na coluna \,3 os elementos são zeros na linha \,1, o pivô \,1 na linha \,2 e zero na linha \,3. Ou seja, a coluna \,3 tem exatamente um não-zero, o pivô \,1 em (2,3).
Ambas as colunas de pivô têm zeros em todas as outras entradas. Portanto a condição 3 está satisfeita.
Passo 11
Conclusão: A satisfaz todas as condições de reduced row-echelon form (está em row-echelon form; os pivôs são \,1; e cada pivô é o único não-zero em sua coluna). Portanto A está tanto em row-echelon form quanto em reduced row-echelon form.
Resposta
Sim — a matriz está em row-echelon form.
Sim — a matriz está em reduced row-echelon form.