Determine whether each system mathcal{H} given below is BIBO stable. \mathcal{H} x(n)=\sum_{k=n}^{n+4} x(k)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o sistema \mathcal{H} abaixo é BIBO estável:
\mathcal{H}x(n)=\sum_{k=n}^{n+4} x(k).
Informações dadas:
A expressão do operador \mathcal{H} para a saída y(n)=\mathcal{H}x(n) em função da entrada x(\cdot) é \;y(n)=\sum_{k=n}^{n+4} x(k).
Não há outras restrições fornecidas sobre x(n) além da definição usual de entrada.
Passo 2
Recordando a definição (útil para a prova): um sistema discreto é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado gera uma saída limitada. Formalmente:
\text{Se existe }B<\infty\text{ tal que }|x(n)|\le B\\ \forall n,\quad\text{então existe }M<\infty\text{ com }|y(n)|\le M\\ \forall n.
Explicação didática rápida:
B é um limite uniforme para a entrada: a entrada é “bounded” se todos os seus valores ficam dentro de [-B,B].
M é um limite uniforme que deve valer para a saída, possivelmente dependente de B (geralmente queremos M proporcional a B).
Em provas costuma-se assumir |x(n)|\le B e mostrar um M explícito (por exemplo M=5B).
Passo 3
Método direto (mais simples e prático na prova): usar desigualdade triangular para limitar a soma.
Partindo de \;y(n)=\sum_{k=n}^{n+4} x(k), aplicamos a desigualdade triangular:
Agora suponha que a entrada é limitada por algum B, isto é |x(k)|\le B para todo k. Então cada termo |x(k)| na soma é no máximo B, e há exatamente 5 termos (para k=n,n+1,n+2,n+3,n+4). Assim
|y(n)| \le \sum_{k=n}^{n+4} B = 5B.
Conclusão deste passo: para qualquer entrada limitada por B tem-se |y(n)|\le 5B para todo n. Portanto basta escolher M=5B (ou dizer que a saída é limitada por 5B), mostrando que o sistema é BIBO estável.
Explicação didática da técnica usada:
A desigualdade triangular |\sum a_i|\le\sum |a_i| é uma ferramenta padrão para transformar uma soma possivelmente com cancelamentos em uma cota simples.
Contar o número de termos finitos na soma (aqui 5) dá logo uma constante multiplicativa que controla a saída por cima.
Passo 4
Abordagem alternativa (útil para entender propriedades e para questões que pedem LTI/FIR): ver o sistema como LTI com resposta ao impulso finita.
Reescrevendo a soma:
y(n)=x(n)+x(n+1)+x(n+2)+x(n+3)+x(n+4).
Isso corresponde a um sistema linear e invariante por deslocamento cuja resposta ao impulso h(n)\) é
\[h(n)=\begin{cases} 1, & n\in\{0,-1,-2,-3,-4\},\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
(ou, dependendo da convenção de convolução usada, fica equivalente escrever suporte em índices positivos; a ideia é que (h] tem exatamente 5 coeficientes iguais a 1).
Critério LTI para BIBO: um sistema LTI é BIBO estável se, e somente se, \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)|<\infty.
Aqui \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| = 1+1+1+1+1 = 5 <\infty,
logo o sistema é BIBO estável. Comentário: sistemas com resposta ao impulso de comprimento finito (FIR) são sempre BIBO estáveis.]
Passo 5
Resumo e dica prática para prova:
A maneira mais direta em prova é assumir |x(n)|\le B e mostrar |y(n)|\le 5B usando desigualdade triangular — é rápido e seguro.
Alternativamente, reconhecer que é um filtro FIR de comprimento 5 (impulso com soma absoluta finita) já garante estabilidade.
Moral: soma finita de amostras limita a saída por uma constante vezes o máximo da entrada.