Determine whether each system
given below is memoryless.
Passo 1
O enunciado dá o sistema discreto definido por
A pergunta é: determinar se esse sistema é memoryless (ou seja, sem memória).
Passo 2
Definição precisa e simples de memoryless: um sistema discreto
é dito memoryless se, para qualquer instante
e quaisquer sinais de entrada
e
tais que
, as saídas no instante
também forem iguais. Em fórmula:
Em palavras: a saída em
só pode depender do valor da entrada naquele mesmo instante
, e não de valores da entrada em instantes diferentes.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao sistema dado. Para um sinal qualquer
a saída é
Escolha um instante arbitrário
e dois sinais
tais que
. Então
Como
, segue que
Isto satisfaz exatamente a condição da definição de memoryless.
Passo 4
Um exemplo numérico rápido para intuir: tome
,
com
, e
com
. Mesmo que
e
tenham valores diferentes em
, em
ambos têm
. As saídas no instante
são
iguais — mostra que a saída em
depende apenas de
, não dos outros instantes.
Passo 5
Conclusão geral e observação útil: qualquer sistema da forma
, com
constante, é memoryless, porque a saída em cada instante é apenas uma escala do valor da entrada naquele mesmo instante. Portanto o sistema dado é sem memória.
Resposta
Sim. O sistema é sem memória (memoryless).