Determine whether each system mathcal{H} given below is memoryless.
mathcal{H} x(n)=3 x(n)

Passo 1

O enunciado dá o sistema discreto definido por
\mathcal{H}x(n)=3\,x(n).
A pergunta é: determinar se esse sistema é memoryless (ou seja, sem memória).

Passo 2

Definição precisa e simples de memoryless: um sistema discreto \mathcal{H} é dito memoryless se, para qualquer instante n_0 e quaisquer sinais de entrada x_1 e x_2 tais que x_1(n_0)=x_2(n_0), as saídas no instante n_0 também forem iguais. Em fórmula:
x_1(n_0)=x_2(n_0)\quad\Rightarrow\quad \mathcal{H}x_1(n_0)=\mathcal{H}x_2(n_0).
Em palavras: a saída em n_0 só pode depender do valor da entrada naquele mesmo instante n_0, e não de valores da entrada em instantes diferentes.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao sistema dado. Para um sinal qualquer x a saída é
y(n)=\mathcal{H}x(n)=3\,x(n).
Escolha um instante arbitrário n_0 e dois sinais x_1,x_2 tais que x_1(n_0)=x_2(n_0). Então
\mathcal{H}x_1(n_0)=3\,x_1(n_0) \quad\text{e}\quad \mathcal{H}x_2(n_0)=3\,x_2(n_0).
Como x_1(n_0)=x_2(n_0), segue que
\mathcal{H}x_1(n_0)=3\,x_1(n_0)=3\,x_2(n_0)=\mathcal{H}x_2(n_0).
Isto satisfaz exatamente a condição da definição de memoryless.

Passo 4

Um exemplo numérico rápido para intuir: tome n_0=0,
x_1(0)=2 com x_1(1)=5, e x_2(0)=2 com x_2(1)=7. Mesmo que x_1 e x_2 tenham valores diferentes em n=1, em n=0 ambos têm 2. As saídas no instante 0 são
\mathcal{H}x_1(0)=3\cdot2=6,\qquad \mathcal{H}x_2(0)=3\cdot2=6,
iguais — mostra que a saída em 0 depende apenas de x(0), não dos outros instantes.

Passo 5

Conclusão geral e observação útil: qualquer sistema da forma \mathcal{H}x(n)=a\,x(n), com a constante, é memoryless, porque a saída em cada instante é apenas uma escala do valor da entrada naquele mesmo instante. Portanto o sistema dado é sem memória.

Resposta

Sim. O sistema é sem memória (memoryless).