Determine which of the following flow fields represent a possible incompressible flow.
V_{r}=U \cos \theta ; V_{\theta}=-U \sin \theta

Passo 1

O enunciado dá os componentes da velocidade em coordenadas polares (r,\theta):
V_{r}=U\cos\theta,\qquad V_{\theta}=-U\sin\theta,
onde U é uma constante (presumimos isso pelo enunciado). A pergunta é: esse campo de velocidades pode representar um escoamento incompressível? Ou seja, devemos verificar se a divergência do campo de velocidades é nula.

Passo 2

Regra que vamos usar (expliquei o porquê): para um escoamento bidimensional em coordenadas polares a condição de incompressibilidade (divergência nula) é dada por
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{1}{r}\frac{\partial (rV_{r})}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial V_{\theta}}{\partial \theta}.
Aqui \nabla\cdot\mathbf{V} é a divergência do campo de velocidade \mathbf{V}, V_{r} é o componente radial (na direção de r), V_{\theta} é o componente azimutal (na direção de \theta), e \partial/\partial r, \partial/\partial\theta são derivadas parciais. Essa fórmula vem da expressão da divergência em coordenadas que levam em conta o fator geométrico r (área elementar é proporcional a r).

Passo 3

Calculo do primeiro termo da divergência:
primeiro formamos rV_{r}:
rV_{r}=r\cdot (U\cos\theta)=U\,r\cos\theta.
Derivando em relação a r mantemos \theta fixo, então
\frac{\partial (rV_{r})}{\partial r}=\frac{\partial (U r\cos\theta)}{\partial r}=U\cos\theta.
Dividindo por r obtemos o primeiro termo da divergência:
\frac{1}{r}\frac{\partial (rV_{r})}{\partial r}=\frac{1}{r}\,U\cos\theta=\frac{U\cos\theta}{r}.

Passo 4

Calculo do segundo termo da divergência:
temos V_{\theta}=-U\sin\theta. Derivando em relação a \theta (mantendo r fixo),
\frac{\partial V_{\theta}}{\partial\theta}=\frac{\partial (-U\sin\theta)}{\partial\theta}=-U\cos\theta.
Dividindo por r obtemos o segundo termo:
\frac{1}{r}\frac{\partial V_{\theta}}{\partial\theta}=\frac{1}{r}(-U\cos\theta)=-\frac{U\cos\theta}{r}.

Passo 5

Somando os dois termos da divergência:
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{U\cos\theta}{r}-\frac{U\cos\theta}{r}=0.
Logo a divergência é zero (pelo cálculo em coordenadas polares) para r>0, o que satisfaz a condição de incompressibilidade.

Passo 6

Interpretação física e comentário sobre r=0: podemos também mostrar que esse campo é exatamente o escoamento uniforme na direção x (velocidade constante U em x e zero em y). As transformações entre componentes polares e cartesianas são
u_x=V_{r}\cos\theta-V_{\theta}\sin\theta, \qquad u_y=V_{r}\sin\theta+V_{\theta}\cos\theta.
Substituindo V_{r}=U\cos\theta e V_{\theta}=-U\sin\theta obtemos
u_x=U\cos\theta\cos\theta-(-U\sin\theta)\sin\theta=U(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=U,
u_y=U\cos\theta\sin\theta+(-U\sin\theta)\cos\theta=0.
Portanto o campo é (u_x,u_y)=(U,0), um escoamento uniforme. Isso explica por que a divergência é zero em todo lugar: um fluxo uniforme não comprime nem expande o fluido. A expressão em polares tem problema formal em r=0 porque \theta não é bem definida no ponto origem; porém em coordenadas cartesianas o campo é bem definido em todo o plano.

Resposta

Sim. É um escoamento incompressível: \nabla\cdot\mathbf{V}=0 (campo equivalente ao escoamento uniforme (U,0)).