Determine which of the following flow fields represent a possible incompressible flow.
Passo 1
O enunciado dá os componentes da velocidade em coordenadas polares
:
onde
é uma constante (presumimos isso pelo enunciado). A pergunta é: esse campo de velocidades pode representar um escoamento incompressível? Ou seja, devemos verificar se a divergência do campo de velocidades é nula.
Passo 2
Regra que vamos usar (expliquei o porquê): para um escoamento bidimensional em coordenadas polares a condição de incompressibilidade (divergência nula) é dada por
Aqui
é a divergência do campo de velocidade
,
é o componente radial (na direção de
),
é o componente azimutal (na direção de
), e
,
são derivadas parciais. Essa fórmula vem da expressão da divergência em coordenadas que levam em conta o fator geométrico
(área elementar é proporcional a
).
Passo 3
Calculo do primeiro termo da divergência:
primeiro formamos :
primeiro formamos
Derivando em relação a
mantemos
fixo, então
Dividindo por
obtemos o primeiro termo da divergência:
Passo 4
Calculo do segundo termo da divergência:
temos . Derivando em relação a
(mantendo
fixo),
temos
Dividindo por
obtemos o segundo termo:
Passo 5
Somando os dois termos da divergência:
Logo a divergência é zero (pelo cálculo em coordenadas polares) para
, o que satisfaz a condição de incompressibilidade.
Passo 6
Interpretação física e comentário sobre
: podemos também mostrar que esse campo é exatamente o escoamento uniforme na direção
(velocidade constante
em
e zero em
). As transformações entre componentes polares e cartesianas são
Substituindo
e
obtemos
Portanto o campo é
, um escoamento uniforme. Isso explica por que a divergência é zero em todo lugar: um fluxo uniforme não comprime nem expande o fluido. A expressão em polares tem problema formal em
porque
não é bem definida no ponto origem; porém em coordenadas cartesianas o campo é bem definido em todo o plano.
Resposta
Sim. É um escoamento incompressível:
(campo equivalente ao escoamento uniforme
).