Determine se x=1 é ponto crítico de
f(x)=integral0^raiz2+ln x e^t^2(t^2-2) d t
Resposta: Sim.

Passo 1

Vamos verificar se f(x) = integral0^raiz2+ln x e^t^2(t^2-2) d t é um ponto crítico da função:
Para isso, precisamos entender o que são pontos críticos e como encontrar a derivada dessa função.

Passo 2

Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Então, o primeiro passo é calcular a derivada de .

Passo 3

Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar uma integral com limite superior dependente de f'(x) = e^(raiz2 + ln x)^2 ( (raiz2 + ln x)^2 - 2 ) cdot ddx ( raiz2 + ln x ) . A derivada de é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de ddx ( raiz2 + ln x ) = 12 raiz2 + ln x cdot 1x . Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Substituímos essa derivada na expressão de f'(x) = e^2 + ln x cdot (2 + ln x - 2) cdot 12 x raiz2 + ln x :
f'(x) = e^2 cdot x cdot (ln x) cdot 12 x raiz2 + ln x = e^2 ln x2 raiz2 + ln x
Simplificando , obtemos:

Passo 6

Agora, substituímos f'(1) = e^2 ln 12 raiz2 + ln 1 na derivada:
f'(1) = e^2 cdot 02 raiz2 + 0 = 0
Sabemos que , então:

Resposta

Sim, é um ponto crítico da função .

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