Deteruine uma equaçäo do plano tangente à superficie no ponto especificado.
z = re^(r y), (2,0,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Aqui, geralmente representa a distância do ponto à origem no plano , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para achar a inclinação da superfície nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de e :
Assim, a função fica:

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e no ponto dado. Essas derivadas nos darão as inclinações do plano nas direções e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
No ponto , , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
No ponto , e , então:

Passo 6

Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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