Um pó deve estar completamente dissolvido em uma solução aquosa, em um tanque grande e bem misturado. Um ácido deve ser adicionado à solução para tornar a partícula esférica solúvel. As partículas são suficientemente pequenas para não serem afetadas pelos efeitos da velocidade do fluido no tanque. Para o caso de excesso de ácido, \mathrm{C}_{0}=2 \mathrm{M}, deduza uma equação para o diâmetro da partícula em função do tempo quando:
a) A transferência de massa limita a dissolução: -\mathrm{WA}=\mathrm{kCC}_{\mathrm{A} 0}
b) A reação limita a dissolução: -r^{\prime \prime}{ }_{A}=\mathrm{krC}_{A O}. Qual é o tempo para a dissolução completa em cada caso?
c) Agora suponha que o ácido não esteja em excesso e que a transferência de massa esteja limitando a dissolução. É necessário um mole de ácido para dissolver 1 mol de sólido. A concentração molar de ácido é 0,1 \mathrm{M}, o tanque é de 100 L e 9,8 \mathrm{~mol} de sólido são
adicionados ao tanque no tempo t=0. Deduza uma expressão para o raio das partículas em função do tempo e calcule o tempo para as partículas se dissolverem completamente.
d) Como você poderia fazer o pó se dissolver mais rapidamente? E mais lentamente?
Dados:
D_{c}=10^{-10} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \quad k=10^{-18} / \mathrm{s}
Diâmetro inicial =10^{-5} \mathrm{~m}

Passo 1

O problema trata da dissolução de partículas esféricas de sólido por um ácido em excesso (parte (a) e (b)) ou não-excesso (parte (c)). O tanque está bem misturado e o ácido fica homogêneo no líquido. Vamos precisar de:
  • A transferência de massa do reagente até a superfície (coeficiente k_{C}, fluxo molar por área e por tempo).
  • A cinética de reação na superfície (constante k_{r}, em \mathrm{s}^{-1}).
  • Geometria da partícula esférica (diâmetro d, raio r=d/2).
  • Para a parte (c), será preciso a conservação de massa de ácido e de sólido.

Passo 2

(a) Transferência de massa limitante e C_{A}=C_{A0} constante
Cada partícula consome ácido à taxa molar
-\frac{dN_s}{dt} = \underbrace{k_{C}\,C_{A0}}_{\text{fluxo mol/(m²·s)}}\;\times A = k_{C}\,C_{A0}\;\pi d^2\,,²
onde N_s é o número de mols de sólido (1 mol de ácido consome 1 mol de sólido) e A=\pi d^2 é a área projetada. Por outro lado,
N_s=\frac{\rho_s V}{M_s} =\frac{\rho_s}{M_s}\,\frac{\pi d^3}{6}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dN_s}{dt} =\frac{\rho_s}{M_s}\,\frac{\pi}{2}\,d^2\;\frac{dd}{dt}\,.
Igualando módulos e cancelando \pi d^2:
\frac{\rho_s}{2M_s}\,\frac{dd}{dt} = k_{C}\,C_{A0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dd}{dt} =\frac{2M_s\,k_{C}\,C_{A0}}{\rho_s} \equiv -K_1\,,
logo
d(t)=d_0 - \underbrace{\frac{2M_s\,k_{C}\,C_{A0}}{\rho_s}}_{K_1}\,t.
O tempo para d(t_\text{f})=0 é
t_\text{diss}^{(a)} =\frac{d_0\,\rho_s}{2M_s\,k_{C}\,C_{A0}}\,.

Passo 3

(b) Reação limitante e C_{A}=C_{A0} constante
Agora o fluxo molar na superfície é
-r''_A = k_{r}\,C_{A0}\quad\bigl[\text{mol/(m²·s)}\bigr]²
e por área total A=\pi d^2 a dissolução obedece
-\frac{dN_s}{dt} = k_{r}\,C_{A0}\,\pi d^2.
Repetindo o mesmo balanço de N_s do passo anterior, obtemos
\frac{dd}{dt} =\frac{2M_s\,k_{r}\,C_{A0}}{\rho_s} \equiv -K_2 \quad\Longrightarrow\quad d(t)=d_0 - K_2\,t,
com
t_\text{diss}^{(b)} =\frac{d_0\,\rho_s}{2M_s\,k_{r}\,C_{A0}}\,.

Passo 4

(c) Transferência de massa limitante e ácido não em excesso
Agora C_A(t) cai porque cada mol de sólido consumido usa 1 mol de ácido. No tanque de volume V:
V\,C_A(t) + N_s(t)=\underbrace{V\,C_{A0}}_{N_{A0}} + \underbrace{N_{s0}}_{n_{\rm sólido}} = \text{constante.}ó
Com N_s=(\rho_s/M_s)\,\pi d^3/6 e d=2r, a equação cinética é
\frac{dd}{dt} =-\frac{2M_s}{\rho_s}\;k_{C}\;C_A(t) =-\frac{2M_s}{\rho_s}\;k_{C}\Bigl(C_{A0}-\tfrac{N_s(t)}{V}\Bigr).
Esse é um EDO acoplado, cuja solução implícita dá d(t) (ou r(t)=d(t)/2). Em geral, chega-se a
r(t) =\sqrt[3]{\,r_0^3-\frac{3M_s}{2\pi\rho_s N_p}\,V\,\Bigl[C_{A0}-C_A(t)\Bigr]\,}
com C_A(t) obtido do balanço total de mols.
Para calcular numericamente o tempo final, faltam os dados da densidade \rho_s do sólido e sua massa molar M_s, além do número inicial de partículas N_p. Sem eles não é possível obter um valor numérico de t_\text{diss}^{\text{(c)}}.

Passo 5

(d) Tornar a dissolução mais rápida ou mais lenta
  • Mais rápida: aumentar o coeficiente de transferência k_C (agitar mais forte, elevar temperatura, reduzir o diâmetro inicial das partículas para aumentar a área), ou aumentar C_{A0}.
  • Mais lenta: fazer o contrário (diminuir agitação, abaixar temperatura, usar partículas maiores, reduzir C_{A0}).

Resposta

(a) d(t)=d_0-\dfrac{2M_s\,k_{C}\,C_{A0}}{\rho_s}\,t, \quad
t_\text{diss}^{(a)}=\dfrac{d_0\,\rho_s}{2M_s\,k_{C}\,C_{A0}}.
(b) d(t)=d_0-\dfrac{2M_s\,k_{r}\,C_{A0}}{\rho_s}\,t, \quad
t_\text{diss}^{(b)}=\dfrac{d_0\,\rho_s}{2M_s\,k_{r}\,C_{A0}}.
(c)
\frac{dd}{dt} =-\frac{2M_s}{\rho_s}\,k_{C}\Bigl(C_{A0}-\tfrac{\rho_s}{M_s}\,\tfrac{\pi d^3}{6V}\Bigr),
solução implícita para r(t)=d(t)/2.
Não é possível calcular numericamente t_\text{diss}^{\text{(c)}} sem \rho_s, M_s e N_p.
(d) Para acelerar, aumentar k_C, C_{A0} ou área (menores partículas, +temperatura); para desacelerar, fazer o inverso.

Exercícios relacionados