Qual deve ser o valor de k para que o sistema $\left\{\begin{array}{c}3 x+5 z=2 y \\\ x-y=-3 z \\\ x+k z=0\end{array}\right.$ admita somente a solução nula?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo

\begin{cases} 3x + 5z = 2y,\\\ x - y = -3z,\\\ x + k z = 0, \end{cases}

e pergunta para quais valores de

k

ele admite somente a solução trivial

(x,y,z)=(0,0,0)

. Em teoria de sistemas lineares, isso ocorre exatamente quando a matriz dos coeficientes é invertível, ou seja, quando o seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

Reescrevemos cada equação na forma padrão

a x + b y + c z = 0

\begin{cases} 3x - 2y +5z = 0,\\\ x - y +3z = 0,\\\ x + 0y +kz = 0. \end{cases}

Logo a matriz dos coeficientes é

A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5\\\\ 1 & -1 & 3\\\\ 1 & 0 & k \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de

A

por expansão na primeira linha:

\det(A) =3\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 0&k\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 1&k\end{pmatrix} +5\det\begin{pmatrix}1&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}.

Cada menor é

\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 0&k\end{pmatrix}=-1\cdot k-3\cdot0=-k,

\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 1&k\end{pmatrix}=1\cdot k-3\cdot1= k-3,

\det\begin{pmatrix}1&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}=1\cdot0-(-1)\cdot1=1.

Substituindo:

\det(A)=3(-k)+2(k-3)+5\cdot1=-3k+2k-6+5=-(k+1).

Passo 4

Para que o sistema tenha apenas a solução trivial, é necessário e suficiente que

\det(A)\neq0

. Logo

-(k+1)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad k+1\neq0 \quad\Longrightarrow\quad k\neq-1.

Resposta

O sistema admite somente a solução nula se, e somente se,

k\neq -1.

Qual deve ser o valor de k para que o sistema \left\{\begin{array}{c}3 x+5 z=2 y \\\ x-y=-3 z \\\ x+k z=0\end{array}\right. admita somente a solução nula?