Os diâmetros externos das duas partes são d_{1}=40 \mathrm{~mm} para o núcleo de latão e d_{2}=50 \mathrm{~mm} para a luva de aço. Os módulos de elasticidade de cisalhamento são G_{b}=36 \mathrm{GPa} para o latão e G_{s}=80 \mathrm{GPa} para o aço. Assumindo que as tensões de cisalhamento admissíveis no latão e no aço são \tau_{b}=48 \mathrm{MPa} e \tau_{s}=80 \mathrm{MPa}, respectivamente, determine o torque máximo permitido \mathbf{T}_{\text {máx }}á que pode ser aplicado ao eixo.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o torque máximo permitido T_{\max}:
  • Diâmetros externos:
    • núcleo de latão: d_{1}=40\\ \mathrm{mm},
    • luva de aço: d_{2}=50\\ \mathrm{mm}.
  • Módulos de elasticidade ao cisalhamento:
    • latão: G_{b}=36\\ \mathrm{GPa},
    • aço: G_{s}=80\\ \mathrm{GPa}.
  • Tensões de cisalhamento admissíveis:
    • latão: \tau_{b}=48\\ \mathrm{MPa},
    • aço: \tau_{s}=80\\ \mathrm{MPa}.
Observações numéricas que vou usar (convertendo unidades para consistência: 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa}; ao usar \mathrm{MPa} e \mathrm{mm}, o torque sai em \mathrm{N\cdot mm}):
  • G_{b}=36{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}},
  • G_{s}=80{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
O objetivo: determinar T_{\max} tal que em nenhum dos materiais a tensão de cisalhamento ultrapasse o valor admissível.

Passo 2

Princípio físico e relações importantes (aula rápida e concreta).
Quando um eixo composto, perfeitamente aderido, sofre torque T, todas as partes têm o mesmo ângulo de torção por unidade de comprimento \theta'. Para cada material vale:
T_{i}=G_{i}J_{i}\,\theta',
onde:
  • T_{i} é o torque que “cabe” na parte i,
  • G_{i} é o módulo de cisalhamento do material i,
  • J_{i} é o momento polar de inércia da seção da parte i,
  • \theta' é a taxa de torção (ângulo por unidade de comprimento).
Somando os torques das partes obtém-se o torque total:
T = \sum_{i} T_{i} = \theta'\sum_{i} G_{i}J_{i}.
Assim,
\theta'=\dfrac{T}{\sum_{i} G_{i}J_{i}}.
A tensão de cisalhamento em um ponto à distância r do centro numa peça circular é
\tau(r)=G\,\gamma(r)=G\,r\,\theta',
porque a deformação de cisalhamento \gamma para torção é \gamma(r)=r\,\theta'.
No nosso problema queremos garantir:
\tau_{b}=\max(\tau\\ \text{no latão})=G_{b}r_{b}\theta'\le \tau_{b,\text{adm}},ã
\tau_{s}=\max(\tau\\ \text{no aço})=G_{s}r_{s}\theta'\le \tau_{s,\text{adm}},ç
onde r_{b} e r_{s} são os raios exteriores do latão e do aço, respectivamente.
Da expressão para \theta' temos, para cada material, a expressão do torque correspondente ao limite admissível:
T_{i,\max}=\dfrac{\tau_{i,\text{adm}}\sum_{k}G_{k}J_{k}}{G_{i}r_{i}}.
O torque máximo permitido para o conjunto é o mínimo entre esses limites:
T_{\max}=\min\bigl(T_{b,\max},\,T_{s,\max}\bigr).
Também preciso das fórmulas para J (momento polar) das seções circulares:
  • para um sólido de diâmetro d:
J_{\text{sol}}=\dfrac{\pi d^{4}}{32}.
  • para um cilindro oco com diâmetro externo d_{o} e interno d_{i}:
J_{\text{oco}}=\dfrac{\pi\bigl(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\bigr)}{32}.
Vou aplicar essas fórmulas aos nossos dados. Todas as variáveis e números usados já estão explicados.

Passo 3

Cálculo dos raios e dos momentos polares J.
Raios:
r_{b}=\dfrac{d_{1}}{2}=\dfrac{40}{2}=20\\ \mathrm{mm}, \qquad r_{s}=\dfrac{d_{2}}{2}=\dfrac{50}{2}=25\\ \mathrm{mm}.
Momento polar do núcleo de latão (sólido, diâmetro d_{1}):
J_{b}=\dfrac{\pi d_{1}^{4}}{32}=\dfrac{\pi\,(40)^{4}}{32}.
Calcule passo a passo:
40^{4}=(40^{2})^{2}=1600^{2}=2{,}560{,}000,
portanto
J_{b}=\dfrac{\pi\cdot 2{,}560{,}000}{32}=\pi\cdot 80{,}000=80{,}000\pi\\ \mathrm{mm^{4}}.
Valor numérico aproximado:
J_{b}\approx 80{,}000\cdot 3{,}14159=251{,}327{,}41\\ \mathrm{mm^{4}}.
Momento polar da luva de aço (cilindro oco, d_{o}=50\\ \mathrm{mm}, d_{i}=40\\ \mathrm{mm}):
J_{s}=\dfrac{\pi\bigl(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\bigr)}{32}=\dfrac{\pi\bigl(50^{4}-40^{4}\bigr)}{32}.
Compute:
50^{4}=6{,}250{,}000,\qquad 40^{4}=2{,}560{,}000,
50^{4}-40^{4}=3{,}690{,}000.
Logo
J_{s}=\dfrac{\pi\cdot 3{,}690{,}000}{32}=\pi\cdot 115{,}312{,}5=115{,}312{,}5\pi\\ \mathrm{mm^{4}}.
Valor numérico:
J_{s}\approx 115{,}312{,}5\cdot 3{,}14159=362{,}840{,}21\\ \mathrm{mm^{4}}.
Resumo numérico:
J_{b}\approx 251{,}327{,}41\\ \mathrm{mm^{4}},\qquad J_{s}\approx 362{,}840{,}21\\ \mathrm{mm^{4}}.

Passo 4

Cálculo dos termos G_{i}J_{i} e da soma \sum G_{i}J_{i}.
Converter G para \mathrm{N/mm^{2}}:
G_{b}=36{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}},\qquad G_{s}=80{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Calcule os produtos:
G_{b}J_{b}=36{,}000\times 251{,}327{,}41\approx 9{,}047{,}786{,}842\\ \mathrm{N\cdot mm^{2}},
G_{s}J_{s}=80{,}000\times 362{,}840{,}21\approx 29{,}027{,}216{,}480\\ \mathrm{N\cdot mm^{2}}.
Soma:
\sum_{i}G_{i}J_{i}=G_{b}J_{b}+G_{s}J_{s}\approx 38{,}075{,}003{,}322\\ \mathrm{N\cdot mm^{2}}.

Passo 5

Determinar o torque correspondente ao limite admissível de cada material.
Fórmula geral (já deduzida):
T_{i,\max}=\dfrac{\tau_{i,\text{adm}}\sum_{k}G_{k}J_{k}}{G_{i}r_{i}}.
Para o latão ( i=b):
T_{b,\max}=\dfrac{\tau_{b}\,\sum GJ}{G_{b}r_{b}} =\dfrac{48\\ \mathrm{N/mm^{2}}\times 38{,}075{,}003{,}322\\ \mathrm{N\cdot mm^{2}}}{36{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}\times 20\\ \mathrm{mm}}.
Calcule:
\text{denom}_{b}=36{,}000\times 20=720{,}000\\ \mathrm{N/mm},
\text{num}_{b}=48\times 38{,}075{,}003{,}322=1{,}827{,}600{,}159{,}456.
T_{b,\max}\approx \dfrac{1{,}827{,}600{,}159{,}456}{720{,}000}=2{,}538{,}333{,}56\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Converter para \mathrm{N\cdot m} dividindo por 1000:
T_{b,\max}\approx 2{,}538{,}333{,}56\\ \mathrm{N\cdot mm}=2{,}538{,}333{,}56/1000\approx 2{,}538{,}33\\ \mathrm{N\cdot m}.
Para o aço ( i=s):
T_{s,\max}=\dfrac{\tau_{s}\,\sum GJ}{G_{s}r_{s}} =\dfrac{80\\ \mathrm{N/mm^{2}}\times 38{,}075{,}003{,}322\\ \mathrm{N\cdot mm^{2}}}{80{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}\times 25\\ \mathrm{mm}}.
Calcule:
\text{denom}_{s}=80{,}000\times 25=2{,}000{,}000\\ \mathrm{N/mm},
\text{num}_{s}=80\times 38{,}075{,}003{,}322=3{,}046{,}000{,}265{,}760.
T_{s,\max}\approx \dfrac{3{,}046{,}000{,}265{,}760}{2{,}000{,}000}=1{,}523{,}000{,}13\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Converter:
T_{s,\max}\approx 1{,}523{,}000{,}13\\ \mathrm{N\cdot mm}=1{,}523{,}000{,}13/1000\approx 1{,}523{,}00\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Comparação dos limites e decisão final.
  • T_{b,\max}\approx 2{,}538{,}33\\ \mathrm{N\cdot m},
  • T_{s,\max}\approx 1{,}523{,}00\\ \mathrm{N\cdot m}.
O torque máximo permitido pelo conjunto é o menor desses valores, pois ao aplicar um torque maior um dos materiais excederia sua tensão admissível. Assim:
T_{\max}=T_{s,\max}\approx 1{,}523{,}00\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretando: o aço atinge primeiro sua tensão admissível na superfície externa, portanto é o componente que controla T_{\max}. Força-se o conjunto a torcer; como o aço é mais rígido (maior G) e está mais longe do centro (raio maior), a tensão no seu bordo externo chega ao limite antes do latão.

Resposta

T_{\max}\approx 1{,}523\\ \mathrm{kN\cdot m}=1{,}523{,}00\\ \mathrm{N\cdot m}

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