Os diâmetros externos das duas partes são
para o núcleo de latão e
para a luva de aço. Os módulos de elasticidade de cisalhamento são
para o latão e
para o aço. Assumindo que as tensões de cisalhamento admissíveis no latão e no aço são
e
, respectivamente, determine o torque máximo permitido
que pode ser aplicado ao eixo.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede o torque máximo permitido
:
- Diâmetros externos:
- núcleo de latão:
, - luva de aço:
.
- núcleo de latão:
- Módulos de elasticidade ao cisalhamento:
- latão:
, - aço:
.
- latão:
- Tensões de cisalhamento admissíveis:
- latão:
, - aço:
.
- latão:
Observações numéricas que vou usar (convertendo unidades para consistência:
; ao usar
e
, o torque sai em
):
-
, -
.
O objetivo: determinar
tal que em nenhum dos materiais a tensão de cisalhamento ultrapasse o valor admissível.
Passo 2
Princípio físico e relações importantes (aula rápida e concreta).
Quando um eixo composto, perfeitamente aderido, sofre torque
, todas as partes têm o mesmo ângulo de torção por unidade de comprimento
. Para cada material vale:
onde:
-
é o torque que “cabe” na parte , -
é o módulo de cisalhamento do material , -
é o momento polar de inércia da seção da parte , -
é a taxa de torção (ângulo por unidade de comprimento).
Somando os torques das partes obtém-se o torque total:
Assim,
A tensão de cisalhamento em um ponto à distância
do centro numa peça circular é
porque a deformação de cisalhamento
para torção é
.
No nosso problema queremos garantir:
onde
e
são os raios exteriores do latão e do aço, respectivamente.
Da expressão para
temos, para cada material, a expressão do torque correspondente ao limite admissível:
O torque máximo permitido para o conjunto é o mínimo entre esses limites:
Também preciso das fórmulas para
(momento polar) das seções circulares:
- para um sólido de diâmetro
:
- para um cilindro oco com diâmetro externo
e interno :
Vou aplicar essas fórmulas aos nossos dados. Todas as variáveis e números usados já estão explicados.
Passo 3
Cálculo dos raios e dos momentos polares
.
Raios:
Momento polar do núcleo de latão (sólido, diâmetro
):
Calcule passo a passo:
portanto
Valor numérico aproximado:
Momento polar da luva de aço (cilindro oco,
,
):
Compute:
Logo
Valor numérico:
Resumo numérico:
Passo 4
Cálculo dos termos
e da soma
.
Converter
para
:
Calcule os produtos:
Soma:
Passo 5
Determinar o torque correspondente ao limite admissível de cada material.
Fórmula geral (já deduzida):
Para o latão (
):
Calcule:
Converter para
dividindo por
:
Para o aço (
):
Calcule:
Converter:
Passo 6
Comparação dos limites e decisão final.
-
, -
.
O torque máximo permitido pelo conjunto é o menor desses valores, pois ao aplicar um torque maior um dos materiais excederia sua tensão admissível. Assim:
Interpretando: o aço atinge primeiro sua tensão admissível na superfície externa, portanto é o componente que controla
. Força-se o conjunto a torcer; como o aço é mais rígido (maior
) e está mais longe do centro (raio maior), a tensão no seu bordo externo chega ao limite antes do latão.