Exercício 6. Um eixo é feito de uma seção de aço maciço AB e uma porção tubular de aço com um núcleo de latão. Se ele está fixo em um apoio rígido em A e um torque T=75 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} é aplicado em C, determine o ângulo de torção que ocorre em C e calcule a tensão de cisalhamento máxima e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço. Seja G_{a c c}=75 \mathrm{GPa}, G_{\text {latão }}=38 \mathrm{GPa}ã.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o ângulo de torção em C devido ao torque aplicado T.
  • Calcular a tensão de cisalhamento máxima e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço.
Informações dadas (peguei estes números da imagem):
  • Torque aplicado: T=75\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Módulos de cisalhamento: G_{\text{aço}}=75\\ \mathrm{GPa}ç e G_{\text{latão}}=38\\ \mathrm{GPa}ã.
  • Geometria (do desenho): comprimento de A até B: L_{AB}=0,9\\ \mathrm{m}; comprimento de B até C: L_{BC}=0,6\\ \mathrm{m}.
  • Seção transversal (peguei estes diâmetros/raios da imagem):
    • raio externo do eixo (aço): R=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}.
    • raio do núcleo de latão: r=12,5\\ \mathrm{mm}=0,0125\\ \mathrm{m}.
Observação clara do que faremos (sem resolver ainda): o eixo tem duas partes em série entre A e C:
  • trecho AB: aço maciço de raio R;
  • trecho BC: composto concêntrico com núcleo sólido de latão (raio r) e anel externo de aço (de r até R).
    A torção total em C é a soma das torções em AB e BC. No trecho composto BC o latão e o aço trabalham juntos: o torque total em BC se distribui entre latão e aço proporcional à rigidez à torção de cada um ( GJ de cada), e ambos têm a mesma rotação por unidade de comprimento.

Passo 2

Fórmulas e conceitos essenciais (aulas rápidas):
  1. Para um corpo circular submetido a torque T, a tensão de cisalhamento em raio \rho é
\tau(\rho)=\frac{T\,\rho}{J},
onde J é o momento polar de inércia da seção (também chamado constante de torção). Aqui \tau(\rho) é máxima na superfície (em \rho=R para uma peça sólida externa ou \rho igual ao raio externo do material considerado).
  1. Para um círculo maciço de raio a,
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi a^{4}}{2}.ç
Para um anel circular com raio externo R e raio interno r,
J_{\text{anel}}=\frac{\pi}{2}\left(R^{4}-r^{4}\right).
  1. Relação entre torque, rigidez e ângulo de torção por comprimento (lei de Timoshenko/Deformação linear em torção):
\theta=\frac{T\,L}{G\,J},
onde L é o comprimento do segmento, G é o módulo de cisalhamento do material e J é o momento polar da seção desse segmento.
  1. No trecho composto (latão + anel de aço) os dois materiais têm a mesma rotação por comprimento. Assim, para um comprimento L do trecho composto, valem
\frac{T_{\text{aço}}}{G_{\text{aço}}J_{\text{aço}}}=\frac{T_{\text{latão}}}{G_{\text{latão}}J_{\text{latão}}}=\frac{\theta_{BC}}{L}.çççããã
Somando, como T_{\text{aço}}+T_{\text{latão}}=Tçã, obtemos a partilha
T_{\text{aço}}=T\cdot\frac{G_{\text{aço}}J_{\text{aço}}}{G_{\text{aço}}J_{\text{aço}}+G_{\text{latão}}J_{\text{latão}}}, \qquad T_{\text{latão}}=T-T_{\text{aço}}.çççççãããç
Esse é um ponto-chave: o torque repartido entre as partes é proporcional à rigidez rotacional GJ de cada parte.
  1. A deformação por cisalhamento máxima (ângulo de deformação tangencial) no material é
\gamma_{\max}=\frac{\tau_{\max}}{G}.
Explicando: a deformação por cisalhamento é a razão entre tensão de cisalhamento e módulo de cisalhamento.

Passo 3

Cálculo dos momentos polares J (mostrar as contas):
  • Para o aço maciço (trecho AB) com raio R=0,025\\ \mathrm{m},
J_{AB}= \frac{\pi R^{4}}{2} = \frac{\pi (0,025)^{4}}{2} \approx 6,144\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • No trecho composto BC:
    • momento polar do núcleo de latão (sólido) com raio r=0,0125\\ \mathrm{m}:
    J_{\text{latão}}=\frac{\pi r^{4}}{2} =\frac{\pi (0,0125)^{4}}{2} \approx 3,835\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{4}}.ã
    • momento polar do anel de aço (de r até R):
    J_{\text{anel aço}}=\frac{\pi}{2}\bigl(R^{4}-r^{4}\bigr) =\frac{\pi}{2}\bigl((0,025)^{4}-(0,0125)^{4}\bigr) \approx 5,749\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.ç
Conferência: J_{AB}\approx J_{\text{anel aço}}+J_{\text{latão}}çã (pequena diferença numérica por arredondamento).

Passo 4

Partilha do torque no trecho composto BC (usando GJ de cada):
  • Calcular as rigidezes k=GJ:
k_{\text{aço,anel}}=G_{\text{aço}}\,J_{\text{anel aço}} =75\times10^{9}\cdot 5,749\times10^{-7} \approx 4,3115\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.ççç
k_{\text{latão}}=G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}} =38\times10^{9}\cdot 3,835\times10^{-8} \approx 1,4576\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.ããã
  • Fração do torque para o aço no trecho BC:
T_{\text{aço,BC}}=T\cdot\frac{k_{\text{aço,anel}}}{k_{\text{aço,anel}}+k_{\text{latão}}} \approx 75\cdot\frac{4,3115\times10^{4}}{4,4573\times10^{4}} \approx 72,55\\ \mathrm{N\cdot m}.çççã
  • Torque no latão:
T_{\text{latão}}=T-T_{\text{aço,BC}}\approx 75-72,55=2,45\\ \mathrm{N\cdot m}.ãç
(Razões: o aço tem rigidez muito maior que o latão, portanto fica com a maior parte do torque.)

Passo 5

Cálculo do ângulo de torção total em C (soma dos dois trechos em série):
  • Torção no trecho AB (aço maciço):
\theta_{AB}=\frac{T\,L_{AB}}{G_{\text{aço}}\,J_{AB}} =\frac{75\cdot 0,9}{75\times10^{9}\cdot 6,144\times10^{-7}} \approx 0,001465\\ \text{rad}.ç
  • Torção no trecho BC (composto): pode-se usar a fórmula direta com a rigidez total do trecho composto k_{\text{total}}=k_{\text{aço,anel}}+k_{\text{latão}}çã:
\theta_{BC}=\frac{T\,L_{BC}}{k_{\text{aço,anel}}+k_{\text{latão}}} =\frac{75\cdot 0,6}{4,4573\times10^{4}} \approx 0,001010\\ \text{rad}.çã
  • Torção total em C:
\theta_{C}=\theta_{AB}+\theta_{BC}\approx 0,001465+0,001010=0,002475\\ \text{rad}.
Em graus:
\theta_{C}\approx 0,002475\cdot\frac{180}{\pi}\approx 0,142^\circ.

Passo 6

Tensões de cisalhamento máximas (usar \tau_{\max}=T_i\,\rho_{\max}/J_i):
  • Para o aço (anel), a tensão máxima ocorre na face externa \rho=R:
\tau_{\text{aço,max}}=\frac{T_{\text{aço,BC}}\,R}{J_{\text{anel aço}}} =\frac{72,55\cdot 0,025}{5,749\times10^{-7}} \approx 3,16\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=3,16\\ \mathrm{MPa}.ççç
  • Para o latão (núcleo), a tensão máxima ocorre na sua superfície externa \rho=r:
\tau_{\text{latão,max}}=\frac{T_{\text{latão}}\,r}{J_{\text{latão}}} =\frac{2,45\cdot 0,0125}{3,835\times10^{-8}} \approx 7,99\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=0,799\\ \mathrm{MPa}.ããã

Passo 7

Deformação por cisalhamento máxima ( \gamma_{\max}=\tau_{\max}/G):
  • Para o aço:
\gamma_{\text{aço,max}}=\frac{\tau_{\text{aço,max}}}{G_{\text{aço}}} =\frac{3,16\times10^{6}}{75\times10^{9}} \approx 4,21\times10^{-5}.ççç
  • Para o latão:
\gamma_{\text{latão,max}}=\frac{\tau_{\text{latão,max}}}{G_{\text{latão}}} =\frac{7,99\times10^{5}}{38\times10^{9}} \approx 2,10\times10^{-5}.ããã

Resposta

Ângulo de torção em C: \theta_{C}\approx 0,002475\\ \text{rad}\approx 0,142^\circ
Tensão de cisalhamento máxima no aço: \tau_{\text{aço,max}}\approx 3,16\\ \mathrm{MPa}ç
Tensão de cisalhamento máxima no latão: \tau_{\text{latão,max}}\approx 0,799\\ \mathrm{MPa}ã
Deformação por cisalhamento máxima no aço: \gamma_{\text{aço,max}}\approx 4,21\times10^{-5}ç
Deformação por cisalhamento máxima no latão: \gamma_{\text{latão,max}}\approx 2,10\times10^{-5}ã

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