Exercício 6. Um eixo é feito de uma seção de aço maciço AB e uma porção tubular de aço com um núcleo de latão. Se ele está fixo em um apoio rígido em A e um torque
é aplicado em C, determine o ângulo de torção que ocorre em C e calcule a tensão de cisalhamento máxima e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço. Seja
,
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o ângulo de torção em
devido ao torque aplicado . - Calcular a tensão de cisalhamento máxima e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço.
Informações dadas (peguei estes números da imagem):
- Torque aplicado:
. - Módulos de cisalhamento:
e . - Geometria (do desenho): comprimento de
até : ; comprimento de até : . - Seção transversal (peguei estes diâmetros/raios da imagem):
- raio externo do eixo (aço):
. - raio do núcleo de latão:
.
- raio externo do eixo (aço):
Observação clara do que faremos (sem resolver ainda): o eixo tem duas partes em série entre
e
:
- trecho
: aço maciço de raio ; - trecho
: composto concêntrico com núcleo sólido de latão (raio ) e anel externo de aço (de até ).
A torção total emé a soma das torções em e . No trecho composto o latão e o aço trabalham juntos: o torque total em se distribui entre latão e aço proporcional à rigidez à torção de cada um ( de cada), e ambos têm a mesma rotação por unidade de comprimento.
Passo 2
Fórmulas e conceitos essenciais (aulas rápidas):
- Para um corpo circular submetido a torque
, a tensão de cisalhamento em raio é
onde
é o momento polar de inércia da seção (também chamado constante de torção). Aqui
é máxima na superfície (em
para uma peça sólida externa ou
igual ao raio externo do material considerado).
- Para um círculo maciço de raio
,
Para um anel circular com raio externo
e raio interno
,
- Relação entre torque, rigidez e ângulo de torção por comprimento (lei de Timoshenko/Deformação linear em torção):
onde
é o comprimento do segmento,
é o módulo de cisalhamento do material e
é o momento polar da seção desse segmento.
- No trecho composto (latão + anel de aço) os dois materiais têm a mesma rotação por comprimento. Assim, para um comprimento
do trecho composto, valem
Somando, como
, obtemos a partilha
Esse é um ponto-chave: o torque repartido entre as partes é proporcional à rigidez rotacional
de cada parte.
- A deformação por cisalhamento máxima (ângulo de deformação tangencial) no material é
Explicando: a deformação por cisalhamento é a razão entre tensão de cisalhamento e módulo de cisalhamento.
Passo 3
Cálculo dos momentos polares
(mostrar as contas):
- Para o aço maciço (trecho
) com raio ,
- No trecho composto
: - momento polar do núcleo de latão (sólido) com raio
:
- momento polar do anel de aço (de
até ):
- momento polar do núcleo de latão (sólido) com raio
Conferência:
(pequena diferença numérica por arredondamento).
Passo 4
Partilha do torque no trecho composto
(usando
de cada):
- Calcular as rigidezes
:
- Fração do torque para o aço no trecho
:
- Torque no latão:
(Razões: o aço tem rigidez muito maior que o latão, portanto fica com a maior parte do torque.)
Passo 5
Cálculo do ângulo de torção total em
(soma dos dois trechos em série):
- Torção no trecho
(aço maciço):
- Torção no trecho
(composto): pode-se usar a fórmula direta com a rigidez total do trecho composto :
- Torção total em
:
Em graus:
Passo 6
Tensões de cisalhamento máximas (usar
):
- Para o aço (anel), a tensão máxima ocorre na face externa
:
- Para o latão (núcleo), a tensão máxima ocorre na sua superfície externa
:
Passo 7
Deformação por cisalhamento máxima (
):
- Para o aço:
- Para o latão:
Resposta
Ângulo de torção em
:
Tensão de cisalhamento máxima no aço:
Tensão de cisalhamento máxima no latão:
Deformação por cisalhamento máxima no aço:
Deformação por cisalhamento máxima no latão:
Tensão de cisalhamento máxima no aço:
Tensão de cisalhamento máxima no latão:
Deformação por cisalhamento máxima no aço:
Deformação por cisalhamento máxima no latão: