O diesel combustível ( \mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{26} ) a 25^{\circ} \mathrm{C} é queimado em uma câmara de combustão em regime permanente com 20 \% de excesso de ar que também entra a 25^{\circ} \mathrm{C}. Os produtos saem da câmara de combustão a 500 K . Admitindo que a combustão seja completa, determine a taxa de escoamento de massa necessária do diesel combustível para fornecer calor a uma taxa de 2.000 \mathrm{~kJ} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a taxa de escoamento de massa do combustível diesel \mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{26} necessária para fornecer calor à razão de \,2000\\ \mathrm{kJ/s}. As informações fornecidas são:
\, - Combustível: \mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{26} (entrada a 25^\circ\mathrm{C}, isto é, 298\\ \mathrm{K}).
\, - Ar entra a 25^\circ\mathrm{C} (assuma ar seco com fração molar de \mathrm{O}_2=0,21 e \mathrm{N}_2=0,79).
\, - Excesso de ar: 20\% (isto é, 1{,}20 vezes o ar estequiométrico).
\, - Produtos saem a 500\\ \mathrm{K}.
\, - Combustão é completa.
\, - Energia útil requerida (calor fornecido) \dot{Q}=2000\\ \mathrm{kJ/s}.
Não há outras informações no enunciado (por exemplo, entalpias ou cp); portanto vou usar valores típicos de tabelas termodinâmicas padrão, que indicarei quando usados.

Passo 2

Estratégia geral (resumida, sem cálculos ainda): fazer balanço de energia em regime permanente. Para cada mol de combustível calculo a entalpia dos reagentes (a 298\\ \mathrm{K}) e dos produtos (a 500\\ \mathrm{K}); a diferença dá a energia liberada por mol de combustível disponível para fornecer calor. Em seguida divido a potência requerida \dot{Q} pela energia útil por mol para obter o fluxo molar de combustível e converto para fluxo de massa. Vou explicar cada conceito enquanto avanço.
Breve explicação da fórmula que usarei: o balanço de entalpia para o processo (sem trabalho de eixo e sem variação cinética/potencial) é
\dot{Q} + \sum \dot{n}_{in}\, \bar{h}_{in} = \sum \dot{n}_{out}\, \bar{h}_{out}.
Tomando energia por mol de combustível, a energia disponível para o circuito térmico (calor extraível) por mol de combustível é
q_{\text{disp, mol}} = -\bigl[H_{\text{prod}}(500\\ \mathrm{K}) - H_{\text{reag}}(298\\ \mathrm{K})\bigr].
A variação de entalpia dos produtos entre 298\\ \mathrm{K} e 500\\ \mathrm{K} é a integral de c_p\,dT; vou assumir c_p médios constantes (valor médio entre 298 e 500\\ \mathrm{K}), o que é aceitável numa prova quando não se pede integração detalhada.

Passo 3

Equação de combustão estequiométrica e cálculo da estequiometria teórica (1 mol de combustível). Para combustão completa:
\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{26} + x\,\mathrm{O}_2 \rightarrow 12\,\mathrm{CO}_2 + 13\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}.
Conta dos átomos de oxigênio necessária:
\text{átomos O na direita} = 12\cdot 2 + 13\cdot 1 = 37,á
portanto \,x = \dfrac{37}{2} = 18{,}5\\ \mathrm{mol\\ O_2} por mol de combustível (ar estequiométrico).

Passo 4

Considerando 20\% de excesso de ar: moles reais de \mathrm{O}_2 fornecidos por mol de combustível:
\mathrm{O}_{2,\text{fornecido}} = 1{,}20\times 18{,}5 = 22{,}2\\ \mathrm{mol\\ O_2}.
Oxigênio que sobra nos produtos:
\mathrm{O}_{2,\text{excedente}} = 22{,}2 - 18{,}5 = 3{,}7\\ \mathrm{mol\\ O_2}.
Moles de \mathrm{N}_2 que acompanham este oxigênio (usando razão molar \mathrm{N}_2/\mathrm{O}_2 = 79/21\approx 3{,}7619):
\mathrm{N}_{2} = 22{,}2 \times \frac{79}{21} = 83{,}5142857\\ \mathrm{mol\\ N_2}\\ \text{(por mol de combustível).}í
Portanto, os produtos por mol de combustível são: 12\\ \mathrm{CO}_2,\\\ 13\\ \mathrm{H}_2\mathrm{O},\\\ 3{,}7\\ \mathrm{O}_2 (excesso) e 83{,}5143\\ \mathrm{N}_2.

Passo 5

Cálculo da entalpia padrão de reação \Delta H^\circ_{rxn} (a 298\\ \mathrm{K}) usando entalpias padrão de formação. Fórmula:
\Delta H^\circ_{rxn} = \sum \nu_i \Delta H_f^\circ(\text{produtos}) - \sum \nu_j \Delta H_f^\circ(\text{reagentes}).
Valores típicos de tabelas (todos em \mathrm{kJ/mol} a 298\\ \mathrm{K}) que vou adotar:
\Delta H_f^\circ(\mathrm{CO}_2(g)) = -393{,}5,
\Delta H_f^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}(g)) = -241{,}8,
\Delta H_f^\circ(\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{26}(l)) \approx -249{,}7,
\Delta H_f^\circ(\mathrm{O}_2) = \Delta H_f^\circ(\mathrm{N}_2) = 0.
Agora aplico essas entradas:
\sum \nu_i \Delta H_f^\circ(\text{produtos}) = 12(-393{,}5) + 13(-241{,}8) = -4722{,}0 -3143{,}4 = -7865{,}4\\ \mathrm{kJ}.
\sum \nu_j \Delta H_f^\circ(\text{reagentes}) = 1\cdot(-249{,}7) + \text{(O}_2,\mathrm{N}_2\text{ zeros)} = -249{,}7\\ \mathrm{kJ}.
Logo
\Delta H^\circ_{rxn} = -7865{,}4 - (-249{,}7) = -7615{,}7\\ \mathrm{kJ\\ por\\ mol\\ de\\ combustível}.í
Isto significa que, se produtos e reagentes estivessem a 298\\ \mathrm{K}, a reação libera 7615{,}7\\ \mathrm{kJ} por mol de combustível (valor negativo de \Delta H indica exotérmica).
Comentário didático rápido: esse número é o calor de combustão padrão a 298\\ \mathrm{K}. Mas os produtos aqui saem a 500\\ \mathrm{K}, então parte desse calor é “gasto” em aquecer os produtos até 500\\ \mathrm{K}. Precisamos subtrair essa parcela sensível.

Passo 6

Cálculo das entalpias sensíveis dos produtos entre 298\\ \mathrm{K} e 500\\ \mathrm{K}. Vou assumir capacidades caloríficas molares médias constantes (valores típicos de tabelas, em \mathrm{J/(mol\cdot K)}):
c_{p,\mathrm{CO}_2} = 37{,}135,\quad c_{p,\mathrm{H_2O(g)}} = 33{,}58,
c_{p,\mathrm{O_2}} = 29{,}376,\quad c_{p,\mathrm{N_2}} = 29{,}124.
A variação de temperatura é
\Delta T = 500 - 298 = 202\\ \mathrm{K}.
A entalpia sensível (por mol de combustível) de cada espécie é \nu_i c_{p,i}\Delta T. Calculo cada contribuição (converto J para kJ dividindo por 1000):
  • Para \mathrm{CO}_2:
\Delta H_{\mathrm{CO}_2} = 12\cdot 37{,}135\cdot 202/1000 = 90{,}015\\ \mathrm{kJ}.
  • Para \mathrm{H_2O(g)}:
\Delta H_{\mathrm{H_2O}} = 13\cdot 33{,}58\cdot 202/1000 = 88{,}155\\ \mathrm{kJ}.
  • Para o \mathrm{O}_2 excedente:
\Delta H_{\mathrm{O}_2} = 3{,}7\cdot 29{,}376\cdot 202/1000 = 21{,}963\\ \mathrm{kJ}.
  • Para o \mathrm{N}_2:
\Delta H_{\mathrm{N}_2} = 83{,}5142857\cdot 29{,}124\cdot 202/1000 \approx 491{,}319\\ \mathrm{kJ}.
Somando as contribuições sensíveis dos produtos:
\Delta H_{\text{sensible,prod}} = 90{,}015 + 88{,}155 + 21{,}963 + 491{,}319 = 691{,}452\\ \mathrm{kJ\\ por\\ mol}.
Breve explicação: isto é o calor necessário para aquecer todos os produtos (CO2, H2O gás, O2 sobrante e N2) de 298 para 500\\ \mathrm{K}. Esse calor é retirado da energia liberada pela reação.

Passo 7

Energia útil disponível por mol de combustível ( q_{\text{disp, mol}}): é a energia liberada pela reação padronizada menos a energia necessária para aquecer os produtos até 500\\ \mathrm{K}. Como \Delta H^\circ_{rxn} = -7615{,}7\\ \mathrm{kJ/mol}, o módulo é 7615{,}7\\ \mathrm{kJ/mol}. Então
q_{\text{disp, mol}} = -\bigl[\Delta H^\circ_{rxn} + \Delta H_{\text{sensible,prod}}\bigr] = -\bigl[-7615{,}7 + 691{,}452\bigr].
Cuidado com sinais: \Delta H^\circ_{rxn} é negativo; a expressão acima dá
q_{\text{disp, mol}} = 7615{,}7 - 691{,}452 = 6924{,}248\\ \mathrm{kJ/mol}.
Arredondando, q_{\text{disp, mol}}\approx 6924{,}25\\ \mathrm{kJ} por mol de \mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{26}. Isso é a energia que pode ser efetivamente removida como calor quando os produtos saem a 500\\ \mathrm{K}.
Comentário didático: note que esse valor é menor que o calor de combustão padrão (7615,7 kJ/mol) porque parte do calor foi “gasto” em aquecer os produtos até 500\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Converter energia por mol em energia por massa do combustível (para chegar depois na taxa de massa). Massa molar do \mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{26}:
M = 12\cdot 12{,}011 + 26\cdot 1{,}008 \approx 170{,}334\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}170334\\ \mathrm{kg/mol}.
Energia disponível por kg de combustível:
q_{\text{disp, kg}} = \dfrac{6924{,}248\\ \mathrm{kJ/mol}}{0{,}170334\\ \mathrm{kg/mol}} \approx 40{,}664\\ \mathrm{kJ/g}\times1000 = 40{,}664\\ \mathrm{kJ/kg}\times 1000?
Corrigindo a unidade: fazendo a divisão corretamente,
q_{\text{disp, kg}} \approx \frac{6924{,}248}{0{,}170334} \approx 40664\\ \mathrm{kJ/kg} = 40{,}664\\ \mathrm{MJ/kg}.
(Explicação curta: dividir kJ por kg fornece kJ/kg; convertendo para MJ/kg dá aproximadamente 40{,}66\\ \mathrm{MJ/kg}.)

Passo 9

Determinar o fluxo molar e de massa do combustível necessário para fornecer \dot{Q}=2000\\ \mathrm{kJ/s}.
Fluxo molar:
\dot{n}_{\text{comb}} = \dfrac{\dot{Q}}{q_{\text{disp, mol}}} = \dfrac{2000}{6924{,}248} \approx 0{,}28874\\ \mathrm{mol/s}.
Fluxo de massa:
\dot{m}_{\text{comb}} = \dot{n}_{\text{comb}}\times M = 0{,}28874\cdot 0{,}170334 \approx 0{,}04918\\ \mathrm{kg/s}.
Em unidades mais familiares: \dot{m}_{\text{comb}}\approx 0{,}0492\\ \mathrm{kg/s} \approx 49{,}2\\ \mathrm{g/s}.

Passo 10

Verificação rápida de ordem de grandeza (auto-checagem): usando valor energético por kg \approx 40{,}66\\ \mathrm{MJ/kg}, então massa necessária para 2{,}0\\ \mathrm{MJ/s} é 2{,}0/40{,}66 \approx 0{,}0492\\ \mathrm{kg/s}. Confere com cálculo anterior — bom sinal.
Pequena palavra de incentivo: você fez bem em pedir a solução passo a passo — esses problemas exigem organizar estequiometria + balanço de energia e lembrar de aquecer produtos. Dá para fazer na prova com calma seguindo esses passos.

Resposta

\dot{m}_{\mathrm{C_{12}H_{26}}} = 0,0492\\ \mathrm{kg/s}

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