Diferenciação Implicita
Considerando que as equações nos exercícios 
  definem 
  como uma função diferenciável de 
 , use o Teorema 8 para encontrar o valor de 
  no ponto dado.
 
Considerando que as equações nos exercícios
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Diferenciação Implícita. A gente tem uma equação que relaciona 
  e 
 , e queremos achar a derivada 
  no ponto específico 
 . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é útil quando 
  está misturado com 
  numa equação e não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Queremos encontrar 
 , então vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a 
 .
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo da equação:
- Diferenciar 
:  
Isso funciona como um produto de duas funções: 
  e 
 . A regra do produto diz que a derivada de 
  é 
 . Então:
- Diferenciar 
:  
Novamente, é um produto de 
  e 
 . Aplicando a regra do produto:
- Diferenciar 
:  
A derivada de 
  em relação a 
  é simplesmente 
 .
- Diferenciar 
:  
Como 
  é uma constante, a derivada é 
 .
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas:
Nosso objetivo é isolar 
 .
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm 
 :
Agora, para encontrar 
 , basta dividir ambos os lados pela expressão que multiplica 
 :
Passo 6
Agora, vamos substituir o ponto dado 
  na expressão que encontramos para 
 .
Primeiro, substituímos 
  e 
 :
Simplificando:
Então:
Resposta
O valor de 
  no ponto 
  é 
 .