Como diferenciar o trabalho realizado por uma força constante do trabalho realizado por uma força variável, como a de uma mola, na hora de montar a integral do trabalho?
Passo 1
O problema pede que eu explique, passo a passo e de forma didática, como diferenciar o trabalho feito por uma força constante do trabalho feito por uma força variável (por exemplo, a força de uma mola) no momento de montar a integral do trabalho. Informações relevantes que vêm do enunciado (implícitas):
- Quer-se saber como montar a integral do trabalho em cada caso.
- Quer-se entender o papel do produto escalar, dos limites de integração e da dependência da força com a posição.
- O exemplo típico de força variável a ser tratado é a força elástica de Hooke.
Passo 2
Conceito básico e fórmula geral (a “ferramenta” que usamos).
- Definição vetorial de trabalho: quando uma força
atua sobre um ponto material que se desloca de até ,
Explanação: aqui
é a força em função da posição (pode ser constante ou variar com
). O elemento
é um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória. O produto escalar
dá a componente de
na direção do deslocamento multiplicada pelo comprimento desse deslocamento; integrando somamos esses “pequenos trabalhos” ao longo do caminho.
Passo 3
Caso força constante — por que a integral fica simples e como montar.
- Se
é constante (não depende da posição), então pode sair da integral:
- Em magnitude e ângulo: se o corpo se desloca uma distância
e o ângulo entre e o deslocamento é ,
Exemplo numérico rápido (para fixar): força
na direção que faz
com o deslocamento de
.
Dica prática: se a força for constante, sempre cheque o ângulo entre força e deslocamento; produto escalar resolve.
Passo 4
Caso força variável — por que precisamos da integral e como montar.
- Se
depende da posição, não dá para tirar da integral. A integral precisa pegar a componente da força ao longo de cada pequeno deslocamento e somá-la. - Em 1D (trajeto ao longo do eixo
), a fórmula vira
onde
é a componente da força ao longo de
(já considerada positiva se estiver no sentido positivo de
; o produto escalar já foi usado para extrair essa componente).
- Em caminho curvo paramétrico
com ,
Regra prática: expressa a força como função da coordenada ao longo do deslocamento e integra entre as posições inicial e final.
Passo 5
Exemplo central — mola (Lei de Hooke) e montagem da integral.
- Para uma mola ideal a força elástica é (Lei de Hooke)
onde
é a constante elástica (N/m) e
é a deformação medida a partir da posição de equilíbrio (sinal positivo para alongamento no sentido +x). O sinal negativo diz que a mola puxa na direção oposta à deformação.
- Trabalho feito pela força da mola ao ir de
a :
- Calculando a integral passo a passo:
Interpretação do sinal: se a mola é comprimida ou alongada de
para
, então
— a mola faz trabalho negativo, porque sua força aponta contra o deslocamento; o agente externo que estica a mola lentamente fornece trabalho positivo igual em magnitude (para processo quasi-estático),
.
Passo 6
Como escolher sinais e limites na prática (checklist para prova).
- Escolha um eixo/parametrização ao longo do deslocamento (ex.: eixo
no sentido do movimento). - Expresse a força na mesma coordenada: encontre
— é a componente da força na direção do deslocamento. - Identifique os limites de integração
e (posições inicial e final). - Monte a integral
. Se a força for constante, ela sai da integral e vira . - Execute a integral e interprete o sinal: trabalho positivo quando a componente da força tem mesmo sentido do deslocamento, negativo caso contrário.
Dica: o produto escalar já cuida do sinal — não force um sinal à parte; concentre-se em escrever corretamente.
Passo 7
Relação com energia potencial e forças conservativas (importante para interpretar resultados).
- Para uma força conservativa
, vale sempre
- No caso da mola, a energia potencial é
e portanto o trabalho da mola entre
e
é
, que leva ao resultado anterior
.
Passo 8
Erros comuns e lembretes de prova (para não vacilar).
- Não confunda força aplicada (por agente externo) com força da mola; podem ter sinais opostos. Sempre indique qual força está sendo integrada.
- Se a força tem componente variável mas desemprenho ocorre ao longo de eixo simples, reduza para
. - Se a força for constante em módulo mas não paralela ao deslocamento, use o produto escalar (ou
). - Lembre: força constante é caso especial de força variável:
const. Então a integral fica trivial.
Resposta
Para força constante:
Para força variável em 1D:
Para mola (Lei de Hooke):