Como diferenciar o trabalho realizado por uma força constante do trabalho realizado por uma força variável, como a de uma mola, na hora de montar a integral do trabalho?

Passo 1

O problema pede que eu explique, passo a passo e de forma didática, como diferenciar o trabalho feito por uma força constante do trabalho feito por uma força variável (por exemplo, a força de uma mola) no momento de montar a integral do trabalho. Informações relevantes que vêm do enunciado (implícitas):
  • Quer-se saber como montar a integral do trabalho em cada caso.
  • Quer-se entender o papel do produto escalar, dos limites de integração e da dependência da força com a posição.
  • O exemplo típico de força variável a ser tratado é a força elástica de Hooke.

Passo 2

Conceito básico e fórmula geral (a “ferramenta” que usamos).
  • Definição vetorial de trabalho: quando uma força \vec F atua sobre um ponto material que se desloca de \vec r_i até \vec r_f,
W=\int_{\vec r_i}^{\vec r_f}\vec F(\vec r)\cdot d\vec r.
Explanação: aqui \vec F(\vec r) é a força em função da posição (pode ser constante ou variar com \vec r). O elemento d\vec r é um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória. O produto escalar \vec F\cdot d\vec r dá a componente de \vec F na direção do deslocamento multiplicada pelo comprimento desse deslocamento; integrando somamos esses “pequenos trabalhos” ao longo do caminho.

Passo 3

Caso força constante — por que a integral fica simples e como montar.
  • Se \vec F é constante (não depende da posição), então pode sair da integral:
W=\int_{\vec r_i}^{\vec r_f}\vec F\cdot d\vec r=\vec F\cdot\int_{\vec r_i}^{\vec r_f}d\vec r=\vec F\cdot(\vec r_f-\vec r_i).
  • Em magnitude e ângulo: se o corpo se desloca uma distância \Delta s=\|\vec r_f-\vec r_i\| e o ângulo entre \vec F e o deslocamento é \theta,
W=F\,\Delta s\cos\theta.
Exemplo numérico rápido (para fixar): força \,10\\ \mathrm{N} na direção que faz \theta=30^\circ com o deslocamento de 5\\ \mathrm{m}.
W = 10\cdot 5\cdot\cos 30^\circ = 50\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 43{,}3\\ \mathrm{J}.
Dica prática: se a força for constante, sempre cheque o ângulo entre força e deslocamento; produto escalar resolve.

Passo 4

Caso força variável — por que precisamos da integral e como montar.
  • Se \vec F depende da posição, não dá para tirar \vec F da integral. A integral precisa pegar a componente da força ao longo de cada pequeno deslocamento e somá-la.
  • Em 1D (trajeto ao longo do eixo x), a fórmula vira
W=\int_{x_i}^{x_f} F(x)\,dx,
onde F(x) é a componente da força ao longo de x (já considerada positiva se estiver no sentido positivo de x; o produto escalar já foi usado para extrair essa componente).
  • Em caminho curvo paramétrico \vec r(t) com t\in[t_i,t_f],
W=\int_{t_i}^{t_f}\vec F(\vec r(t))\cdot \frac{d\vec r}{dt}\,dt.
Regra prática: expressa a força como função da coordenada ao longo do deslocamento e integra entre as posições inicial e final.

Passo 5

Exemplo central — mola (Lei de Hooke) e montagem da integral.
  • Para uma mola ideal a força elástica é (Lei de Hooke)
\vec F_{\text{mol}}(x)=-k x\,\hat e_x,
onde k é a constante elástica (N/m) e x é a deformação medida a partir da posição de equilíbrio (sinal positivo para alongamento no sentido +x). O sinal negativo diz que a mola puxa na direção oposta à deformação.
  • Trabalho feito pela força da mola ao ir de x_i a x_f:
W_{\text{mol}}=\int_{x_i}^{x_f}(-k x)\,dx.
  • Calculando a integral passo a passo:
W_{\text{mol}} = -k\int_{x_i}^{x_f} x\,dx = -k\left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_{x_i}^{x_f} = -\tfrac{1}{2}k\bigl(x_f^2-x_i^2\bigr).
Interpretação do sinal: se a mola é comprimida ou alongada de 0 para x>0, então W_{\text{mol}}=-\tfrac12 k x^2 — a mola faz trabalho negativo, porque sua força aponta contra o deslocamento; o agente externo que estica a mola lentamente fornece trabalho positivo igual em magnitude (para processo quasi-estático), W_{\text{ext}}=+\tfrac12 k x^2.

Passo 6

Como escolher sinais e limites na prática (checklist para prova).
  1. Escolha um eixo/parametrização ao longo do deslocamento (ex.: eixo x no sentido do movimento).
  2. Expresse a força na mesma coordenada: encontre F_x(x) — é a componente da força na direção do deslocamento.
  3. Identifique os limites de integração x_i e x_f (posições inicial e final).
  4. Monte a integral W=\int_{x_i}^{x_f} F_x(x)\,dx. Se a força for constante, ela sai da integral e vira \vec F\cdot(\vec r_f-\vec r_i).
  5. Execute a integral e interprete o sinal: trabalho positivo quando a componente da força tem mesmo sentido do deslocamento, negativo caso contrário.
    Dica: o produto escalar já cuida do sinal — não force um sinal à parte; concentre-se em escrever corretamente F_x(x).

Passo 7

Relação com energia potencial e forças conservativas (importante para interpretar resultados).
  • Para uma força conservativa \vec F=-\nabla U, vale sempre
W_{\text{força}}=-\Delta U = U(x_i)-U(x_f).ç
  • No caso da mola, a energia potencial é
U(x)=\tfrac{1}{2}k x^2,
e portanto o trabalho da mola entre x_i e x_f é -\bigl(U(x_f)-U(x_i)\bigr), que leva ao resultado anterior -\tfrac12 k(x_f^2-x_i^2).

Passo 8

Erros comuns e lembretes de prova (para não vacilar).
  • Não confunda força aplicada (por agente externo) com força da mola; podem ter sinais opostos. Sempre indique qual força está sendo integrada.
  • Se a força tem componente variável mas desemprenho ocorre ao longo de eixo simples, reduza para W=\int F(x)\,dx.
  • Se a força for constante em módulo mas não paralela ao deslocamento, use o produto escalar (ou F\Delta s\cos\theta).
  • Lembre: força constante é caso especial de força variável: F(x)=const. Então a integral fica trivial.

Resposta

W=\displaystyle\int_{\vec r_i}^{\vec r_f}\vec F(\vec r)\cdot d\vec r \
Para força constante: W=\vec F\cdot(\vec r_f-\vec r_i)=F\,\Delta s\cos\theta \
Para força variável em 1D: W=\displaystyle\int_{x_i}^{x_f}F(x)\,dx \
Para mola (Lei de Hooke): W_{\text{mol}}=\displaystyle\int_{x_i}^{x_f}(-k x)\,dx=-\tfrac{1}{2}k(x_f^2-x_i^2)

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