7- A difração de nêutrons é uma importante técnica para determinar as estruturas das moléculas. Calcule a velocidade de um nêutron que tem comprimento de onda característico de 0,955 \AA. Massa do nêutron =1,674927 \times 10^{-24} \mathrm{~g} .\left(\mathbf{4 , 1 4} \times \mathbf{1 0}^{\mathbf{3}} \mathbf{~ m} / \mathbf{s}\right)

Passo 1

O problema pede para calcular a velocidade de um nêutron cujo comprimento de onda é \lambda=0,955\\ \text{\AA}. Os dados fornecidos são:
  • comprimento de onda: \lambda=0,955\\ \text{\AA};
  • massa do nêutron: m=1,674927\times10^{-24}\\ \mathrm{g}.
A resposta numérica esperada indicada é aproximadamente \(4,14\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}). Vou usar isso só como referência no final.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar: ondas de matéria (de Broglie). Para uma partícula não relativística, o comprimento de onda de De Broglie relaciona-se ao momento linear p por
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. Aqui:
  • h é a constante de Planck, cujo valor é h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s};
  • p é o momento linear, que para uma partícula de massa m e velocidade v (não relativística) vale p=m v.
Portanto, podemos escrever
\lambda=\frac{h}{m v}.

Passo 3

Isolando a velocidade v na fórmula anterior:
v=\frac{h}{m\,\lambda}.
Aqui v terá unidades de \mathrm{m/s} se h estiver em \mathrm{J\,s}, m em \mathrm{kg} e \lambda em \mathrm{m}. Antes de substituir, é preciso converter todos os dados para o SI.

Passo 4

Conversões para o SI (vou mostrar cada passo com cuidado):
  • Comprimento de onda: 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}. Assim
\lambda=0,955\\ \text{\AA}=0,955\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=9,55\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Massa: 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}. Assim
m=1,674927\times10^{-24}\\ \mathrm{g}=1,674927\times10^{-24}\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}=1,674927\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular o produto m\,\lambda (expondo o cálculo para ficar claro como fazer sem calculadora):
m\,\lambda=(1,674927\times10^{-27})(9,55\times10^{-11}).
Multiplica-se as mantissas e soma-se os expoentes:
1,674927\cdot9,55=15,99555285,
e
10^{-27}\cdot10^{-11}=10^{-38}.
Portanto
m\,\lambda=15,99555285\times10^{-38}=1,599555285\times10^{-37}\\ \mathrm{kg\cdot m}.

Passo 6

Agora substituímos na fórmula v=\dfrac{h}{m\lambda}. Usando h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}:
v=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{1,599555285\times10^{-37}}\\ \mathrm{m/s}.
Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes:
\frac{6,62607015}{1,599555285}\approx4,1439\quad\text{e}\quad10^{-34-(-37)}=10^{3}.
Logo
v\approx4,1439\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Arredondamento e verificação de consistência: com três algarismos significativos (coerente com os dados), fica
v\approx4,14\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Verificação não-relativística: v é muito menor que c\approx3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, então a fórmula não relativística p=mv é apropriada.

Resposta

4,14\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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