Diga se as séries são convergentes ou divergentes: (5 pts) sumn=1^infty raizn^3+5 n^2+1n^2+1 D

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é raizn^3+5 n^2+1n^2+1 approx n^3/2n^2 = 1n^1/2 = 1raizn . Para entender o comportamento dessa expressão quando fica muito grande (ou seja, tende ao infinito), simplificamos analisando apenas os termos que mais influenciam o resultado.
No numerador, temos . Quando é grande, domina os outros termos, então podemos aproximar .
No denominador, também pode ser aproximado por quando é grande.
Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, sabemos que a série é uma série p onde . Uma série p da forma converge se e diverge se . No nosso caso, , então essa série diverge.

Passo 4

Utilizando o Teste da Comparação, comparamos nossa série original com a série conhecida . Como o termo geral da nossa série é aproximadamente igual ao da série divergente e, na verdade, é maior para suficientemente grande, podemos concluir que nossa série também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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