Diga se as séries são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é
. Para entender o comportamento dessa expressão quando
fica muito grande (ou seja, tende ao infinito), simplificamos analisando apenas os termos que mais influenciam o resultado.
No numerador, temos
. Quando
é grande,
domina os outros termos, então podemos aproximar
.
No denominador,
também pode ser aproximado por
quando
é grande.
Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, sabemos que a série
é uma série p onde
. Uma série p da forma
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então essa série diverge.
Passo 4
Utilizando o Teste da Comparação, comparamos nossa série original com a série conhecida
. Como o termo geral da nossa série é aproximadamente igual ao da série divergente e, na verdade, é maior para
suficientemente grande, podemos concluir que nossa série também diverge.
Resposta
A série
é divergente.