Dimensionar uma adutora de 40 \mathrm{l} / \mathrm{s} para levar água dos pontos A ( \mathrm{NA}=120,00 \mathrm{~m} ) a B ( \mathrm{NA}=75,00 \mathrm{~m} ), que distam 7500 m , nas seguintes condições:
adutora, solução econômica, empregando tubos de ferro fundido novos;

Passo 1

O enunciado pede que se dimensione uma adutora para transportar água de A para B. Dados fornecidos:
  • Vazão: Q = 40\\ \mathrm{l/s} = 0,04\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Cota de A: \mathrm{NA}_A = 120,00\\ \mathrm{m}.
  • Cota de B: \mathrm{NA}_B = 75,00\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da adutora: L = 7500\\ \mathrm{m}.
  • Tubos: ferro fundido novos (portanto usar coeficiente de rugosidade/coeficiente de Hazen–Williams adequado para ferro fundido novo).
  • Objetivo prático: adotar solução econômica empregando tubos de ferro fundido novos (ou seja, escolher um diâmetro comercial que seja economicamente razoável e que satisfaça as condições hidráulicas).
Informações derivadas:
  • Diferença de cota disponível (carga disponível): \Delta z = \mathrm{NA}_A - \mathrm{NA}_B = 120,00 - 75,00 = 45,00\\ \mathrm{m}. Essa é a carga potencial disponível para vencer as perdas de carga da adutora (assumindo nenhuma bomba ou outros elementos).
  • Deve-se escolher um diâmetro comercial de tubo de ferro fundido novo que transporte Q ao longo de L consumindo perdas de carga \leq \Delta z e com velocidade aceitável.

Passo 2

Escolha do método de dimensionamento (explicação didática e justificativa):
  • Para adutoras pressurizadas e tubos de material como ferro fundido costuma-se usar a fórmula empírica de Hazen–Williams por ser simples e muito utilizada em projetos de abastecimento urbano quando se conhece o coeficiente C do material.
  • Vou usar Hazen–Williams para relacionar Q, d, L e a perda de carga h_f. Em seguida encontro o diâmetro que faz h_f = \Delta z (ou seja, que usa a carga disponível). Depois escolho o menor diâmetro comercial que satisfaça h_f \le \Delta z (isso tende a ser a escolha econômica: não sobredimensionar muito, nem escolher diâmetro tão pequeno que exija perda de carga maior do que a disponível).
  • Justificativa simples: essa abordagem dá um diâmetro que usa quase toda a carga de elevação (economia de energia/custo), e depois a escolha do diâmetro comercial imediatamente superior evita usar uma tubulação que saturaria a carga disponível. Isso é prática comum em “solução econômica” quando não há dados de custo detalhados.

Passo 3

Fórmula de Hazen–Williams e explicação das variáveis:
  • Fórmula utilizada (unidades SI, perda total no comprimento L):
h_f = 10{,}67\, L \; \dfrac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, d^{4{,}871}}
onde:
  • h_f é a perda de carga ao longo do comprimento L (em metros).
  • L é o comprimento da adutora (em metros).
  • Q é a vazão (em \mathrm{m^3/s}).
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), característico do material e do estado da tubulação.
  • d é o diâmetro interno da tubulação (em metros).
  • O número 10{,}67 e os expoentes são a forma empírica da fórmula em unidades SI.
Observação sobre C: para tubos de ferro fundido novos é usual adotar C \approx 130. Vou adotar C = 130.

Passo 4

Isolar d da fórmula para obter o diâmetro teórico que faz h_f = \Delta z:
  • Igualando h_f à carga disponível \Delta z = 45{,}00\\ \mathrm{m} e resolvendo para d:
\Delta z = 10{,}67\, L \; \dfrac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, d^{4{,}871}}
\Rightarrow d^{4{,}871} = 10{,}67\, L \; \dfrac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, \Delta z}
\Rightarrow d = \left(10{,}67\, L \; \dfrac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, \Delta z}\right)^{\!\tfrac{1}{4{,}871}}
Agora substituímos os valores conhecidos (mostrando as contas passo a passo):
  • Q = 0{,}04\\ \mathrm{m^3/s}.
  • L = 7500\\ \mathrm{m}.
  • C = 130.
  • \Delta z = 45{,}00\\ \mathrm{m}.
Calcular Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = 0{,}04^{\,1{,}852} \approx 0{,}002582.
Calcular C^{1{,}852}:
C^{1{,}852} = 130^{\,1{,}852} \approx 8230 \quad(\text{valor aproximado calculado exponencialmente}).
Calcular o numerador:
10{,}67 \cdot L \cdot Q^{1{,}852} = 10{,}67 \cdot 7500 \cdot 0{,}002582 \approx 206{,}7.
Calcular o denominador dentro da raiz:
C^{1{,}852}\cdot \Delta z \approx 8230 \cdot 45{,}00 = 370350.
Formando a razão:
\frac{10{,}67\, L \, Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, \Delta z} \approx \frac{206{,}7}{370350} \approx 0{,}0005583.
Tomando a raiz de ordem 4{,}871:
d \approx (0{,}0005583)^{1/4{,}871} \approx 0{,}2149\\ \mathrm{m} \approx 0{,}215\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o diâmetro teórico que usaria exatamente a carga disponível é cerca de d \approx 0{,}215\\ \mathrm{m} (215 mm).

Passo 5

Escolha do diâmetro comercial (justificativa econômica prática):
  • Diâmetros comerciais comuns para tubos de ferro fundido incluem 200\\ \mathrm{mm} e 225\\ \mathrm{mm} (entre outros).
  • O diâmetro teórico 0{,}215\\ \mathrm{m} fica entre 200\\ \mathrm{mm} e 225\\ \mathrm{mm}. Para segurança (evitar que a perda de carga exceda a carga disponível) e por prática econômica (não sobredimensionar demais), escolhe-se o próximo diâmetro comercial superior: d = 225\\ \mathrm{mm} = 0{,}225\\ \mathrm{m}.
  • Explicação prática: o menor diâmetro comercial abaixo do teórico ( 200\\ \mathrm{mm}) causaria perda de carga maior que a disponível (logo insuficiente), enquanto 225\\ \mathrm{mm} satisfaz a condição h_f \le \Delta z com velocidade ainda econômica. Portanto 225\\ \mathrm{mm} é a opção econômica e segura.

Passo 6

Verificação detalhada para o diâmetro adotado d = 0{,}225\\ \mathrm{m}:
  • Calcular a velocidade média v:
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0{,}225)^2}{4} \approx 0{,}03975\\ \mathrm{m^2}.
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}04}{0{,}03975} \approx 1{,}006\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}01\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: velocidade \approx 1{,}0\\ \mathrm{m/s} é perfeitamente aceitável para adutoras de água potável (evita arraste de sedimentos e não é excessiva quanto às perdas por atrito).
  • Calcular a perda de carga total h_f para d = 0{,}225\\ \mathrm{m}. Pode-se usar a proporcionalidade em relação ao caso d=0{,}215 já calculado, ou recalcular diretamente. Usando relação de potências:
h_{f,225} = 45{,}00 \times \left(\frac{0{,}215}{0{,}225}\right)^{4{,}871}.
Calculemos o fator:
\left(\frac{0{,}215}{0{,}225}\right)^{4{,}871} \approx 0{,}8013.
Portanto
h_{f,225} \approx 45{,}00 \times 0{,}8013 \approx 36{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Verificação: h_{f,225} \approx 36{,}06\\ \mathrm{m} \le \Delta z = 45{,}00\\ \mathrm{m}. Logo a perda de carga é menor que a carga disponível e a adutora funciona sem faltar carga.
  • Carga residual (margem disponível):
\text{Carga residual} = \Delta z - h_{f,225} \approx 45{,}00 - 36{,}06 = 8{,}94\\ \mathrm{m}.
Isso significa sobra de carga para manobra, eventual perda local, ou para assegurar pressão residual em B.

Passo 7

Comentários finais sobre economia e segurança:
  • Escolhendo d = 0{,}225\\ \mathrm{m} estamos usando um diâmetro comercial logo acima do teórico 0{,}215\\ \mathrm{m}. Isso evita que a perda de carga ultrapasse a carga disponível (o que ocorreria com d = 0{,}200\\ \mathrm{m}) e evita sobredimensionamento desnecessário (que aumentaria custo de material sem necessidade).
  • A velocidade obtida ( \approx 1{,}0\\ \mathrm{m/s}) é adequada para adutoras de água, equilibrando custo de energia e custo de tubulação — por isso essa escolha é compatível com o conceito de “solução econômica” em projetos práticos.
  • Foi adotado C = 130 para ferro fundido novo; se for usado outro valor de C (por exemplo tubulação envelhecida), seria necessário recalcular.

Resposta

Diâmetro comercial adotado: d = 0{,}225\\ \mathrm{m} (225 mm)
Velocidade média: v \approx 1{,}01\\ \mathrm{m/s}
Perda de carga na adutora (L = 7500 m): h_f \approx 36{,}06\\ \mathrm{m}
Carga disponível restante: 45{,}00 - 36{,}06 \approx 8{,}94\\ \mathrm{m}