Vapor d’água é admitido em um bocal isolado operando em regime permanente a 0,7 \mathrm{MPa}, 320^{\circ} \mathrm{C}, 35 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e é descarregado a 0,15 \mathrm{MPa}. Considerando que a eficiência isoentrópica do bocal é 94 \%, determine a velocidade de descarga, em \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista de dados que vou usar; peguei todos do enunciado):
  • Condições na entrada do bocal (ponto 1):
    • P_1 = 0,7\\ \mathrm{MPa}
    • T_1 = 320^\circ\mathrm{C}
    • v_1 = 35\\ \mathrm{m/s} (velocidade na entrada)
  • Condição de saída (ponto 2): P_2 = 0,15\\ \mathrm{MPa}.
  • O bocal é isolado e opera em regime permanente.
  • Eficiência isoentrópica do bocal: \eta = 94\% = 0{,}94.
O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade de descarga v_2 em \mathrm{m/s}.

Passo 2

Princípio de energia aplicado ao bocal (controle de massa em regime permanente e adiabático, desprezando trabalho de eixo): a variação de entalpia se transforma em energia cinética. A equação de energia por unidade de massa é
h_1 + \frac{v_1^2}{2} = h_2 + \frac{v_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica (em \mathrm{kJ/kg}) e v é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
Para um bocal, a eficiência isoentrópica pode ser escrita em termos de entalpias ou velocidades como
\eta \;=\; \frac{h_1 - h_2}{h_1 - h_{2s}} \;=\; \frac{v_2^2 - v_1^2}{v_{2s}^2 - v_1^2},
onde o índice 2s indica o estado que o fluido teria na saída se a expansão fosse isoentrópica (reversível). Essa definição diz: a fração da queda de entalpia isoentrópica que efetivamente aparece como energia cinética. Dessa relação segue a forma útil para calcular v_2:
v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2\,\eta\,(h_1 - h_{2s})\cdot 1000},
onde multiplico por 1000 para converter \mathrm{kJ/kg} em \mathrm{J/kg}=\mathrm{m^2/s^2}.
Explicando as variáveis:
  • h_1: entalpia no estado inicial (conhecida pelo P_1,T_1 ou por tabela).
  • h_{2s}: entalpia no estado final se a expansão fosse isoentrópica (obtém-se impondo s_{2s}=s_1 e P_2 e consultando tabela ou usando modelo).
  • \eta: eficiência isoentrópica dada.
  • v_1: velocidade inicial dada.
  • v_2: velocidade real de descarga que queremos.

Passo 3

Escolha do método para obter h_1 - h_{2s}.
  • O método “correto” e mais preciso é usar tabelas termodinâmicas (tabelas de vapor) para obter h_1 em (P_1,T_1) e, impondo s_{2s}=s_1 e P_2, encontrar h_{2s}.
  • Como aqui não foram fornecidas tabelas, e para permitir cálculo direto em prova sem tabela, vou fazer a aproximação usual para vapor superaquecido: tratar o vapor como gás ideal com calor específico constante c_p na faixa dada. Isso é aceitável quando o vapor está bem acima da saturação (aqui T_1=320^\circ\mathrm{C} é superaquecido para P_1=0,7\\ \mathrm{MPa}) e dá um resultado muito próximo ao das tabelas para variações rápidas de exame.
Valores adotados (valores típicos usados em problemas):
  • Constante específica do gás-água: R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Calor específico à pressão constante do vapor superaquedado (média): c_p = 2{,}01\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Explicando a aproximação: para gás ideal com c_p constante, a entalpia varia linearmente com a temperatura:
h(T) \approx c_p\,T + \text{const},
então diferenças de entalpia são \Delta h \approx c_p\Delta T. A condição isoentrópica para gás ideal é
\frac{T_{2s}}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{R/c_p},
obtida de \Delta s = c_p\ln(T_{2s}/T_1)-R\ln(P_2/P_1)=0. Vou usar essa relação para obter T_{2s} e então \Delta h = c_p(T_1 - T_{2s}).

Passo 4

Converter temperaturas e calcular T_{2s}.
  • T_1 = 320^\circ\mathrm{C} = 320 + 273{,}15 = 593{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressões: P_1 = 0{,}7\\ \mathrm{MPa},\; P_2 = 0{,}15\\ \mathrm{MPa}. Então \dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{0{,}15}{0{,}7} \approx 0{,}2142857.
Calcular o expoente:
\frac{R}{c_p} = \frac{0{,}4615}{2{,}01} \approx 0{,}2296.
Aplicando a relação isoentrópica:
T_{2s} = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{R/c_p}.
Numérico:
T_{2s} = 593{,}15\cdot(0{,}2142857)^{0{,}2296}.
Calculemos o fator:
(0{,}2142857)^{0{,}2296} \approx \exp\big(0{,}2296\cdot\ln(0{,}2142857)\big)\approx \exp(-0{,}3548)\approx 0{,}7017.
Logo
T_{2s} \approx 593{,}15 \times 0{,}7017 \approx 416{,}3\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a queda de entalpia isoentrópica (h_1 - h_{2s}) pela aproximação c_p (T_1 - T_{2s}).
h_1 - h_{2s} \approx c_p (T_1 - T_{2s}) = 2{,}01\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\times(593{,}15 - 416{,}3)\\ \mathrm{K}.
T_1 - T_{2s} \approx 176{,}85\\ \mathrm{K}.
Portanto
h_1 - h_{2s} \approx 2{,}01\times176{,}85 \approx 355{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
Convém transformar em \mathrm{J/kg} quando for usar na equação cinética:
h_1 - h_{2s} \approx 355{,}4\times 10^3\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 6

Calcular a velocidade ideal v_{2s} (não usada diretamente no resultado final, mas útil para verificar ordem de grandeza). Pela equação de energia isoentrópica:
v_{2s} = \sqrt{v_1^2 + 2\,(h_1 - h_{2s})\cdot 1000}.
Substituindo v_1=35\\ \mathrm{m/s} e h_1-h_{2s}=355{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}:
v_{2s} \approx \sqrt{35^2 + 2\cdot 355{,}4\times 10^3} = \sqrt{1{,}225 + 710{,}800}\approx \sqrt{712{,}025}\approx 843{,}2\\ \mathrm{m/s}.
Isso dá a ordem de grandeza: velocidade possível se a expansão fosse reversível. Agora usamos a eficiência.

Passo 7

Aplicar a eficiência isoentrópica para obter a velocidade real v_2. Usando a forma direta:
v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2\,\eta\,(h_1 - h_{2s})\cdot 1000}.
Substituindo números ( \eta=0{,}94):
v_2 \approx \sqrt{35^2 + 2\cdot 0{,}94 \cdot 355{,}4\times 10^3 }.
Calcule a contribuição cinética:
2\cdot 0{,}94 \cdot 355{,}4\times 10^3 \approx 668{,}208{,} \text{(m}^2\!/\mathrm{s}^2\text{)}.
Somando 35^2=1{,}225 e extraindo a raiz:
v_2 \approx \sqrt{668{,}208 + 1{,}225}\approx \sqrt{669{,}433}\approx 818{,}3\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida e incentivo: essa velocidade é da ordem de centenas de m/s (próxima da velocidade do som para vapor nessas condições), o que é razoável para um bocal de vapor. Se tiver tabelas de vapor, o procedimento é o mesmo: obter h_1 e h_{2s} por tabelas (impondo s_{2s}=s_1) e usar a mesma fórmula com \eta.

Resposta

818{,}3\\ \mathrm{m/s}

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