Um dipolo elétrico de 100 \mathbf{a}_{z} \mathbf{p C} \cdot m está localizado na origem. Determine V e E nos pontos:
(0,0,10);

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V e o campo elétrico \mathbf{E} gerados por um dipolo elétrico localizado na origem, nos pontos (0,0,10).
Informações dadas:
\mathbf{p}=100\,\mathbf{a}_z\\ \text{pC}\cdot\text{m}
o ponto onde queremos os campos é
\mathbf{r}=(0,0,10)\\ \text{m}.
Pressuposições (não pedidas, mas necessárias para calcular): usamos o sistema SI (portanto \text{pC}=10^{-12}\,\text{C}) e o espaço é vácuo com constante dielétrica \epsilon_0.

Passo 2

Fórmula para o potencial de um dipolo pontual em origem (vácuo):
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}.
Explicação didática: aqui \mathbf{p} é o momento dipolar (vetor com unidade \text{C}\cdot\text{m}), \mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde calculamos o potencial (unidade \text{m}), e r=\|\mathbf{r}\|. A constante \epsilon_0 é a permissividade do vácuo; numericamente \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx 8{,}9875518\times10^{9}\\ \text{SI}. A fórmula vale para um dipolo ideal localizado na origem, em pontos onde r é muito maior que o tamanho real da fonte (normalmente esse é o caso em exercícios).

Passo 3

Converto o momento dipolar para SI:
\mathbf{p}=100\,\mathbf{a}_z\\ \text{pC}\cdot\text{m}=100\times10^{-12}\,\mathbf{a}_z\\ \text{C}\cdot\text{m}=1{,}0\times10^{-10}\,\mathbf{a}_z\\ \text{C}\cdot\text{m}.
O vetor posição do ponto é
\mathbf{r}=10\,\mathbf{a}_z\\ \text{m}, \qquad r=\|\mathbf{r}\|=10\\ \text{m}.
Calculo o produto escalar necessário:
\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}=(1{,}0\times10^{-10})(10)=1{,}0\times10^{-9}.

Passo 4

Substituo na fórmula do potencial:
\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}=\frac{1{,}0\times10^{-9}}{10^3}=1{,}0\times10^{-12}.
Assim
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,(1{,}0\times10^{-12}).
Usando \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx 8{,}9875518\times10^{9},
V(\mathbf{r})\approx 8{,}9875518\times10^{9}\times 1{,}0\times10^{-12}=8{,}9875518\times10^{-3}\\ \text{V}.
Arredondando razoavelmente:
V(0,0,10)\approx 8{,}99\times10^{-3}\\ \text{V}=8{,}99\\ \text{mV}.

Passo 5

Fórmula vetorial para o campo elétrico de um dipolo pontual:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{3(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{r}}{r^5}-\frac{\mathbf{p}}{r^3}\right].
Breve aula: essa expressão vem de \mathbf{E}=-\nabla V aplicada ao potencial do dipolo; o primeiro termo dá a componente radial ampliada por 3(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}) e o segundo remove a componente direta do momento.

Passo 6

No nosso caso \mathbf{p} e \mathbf{r} estão ambos na direção \mathbf{a}_z. Isso simplifica muito a expressão: escrevendo \mathbf{p}=p\,\mathbf{a}_z e \mathbf{r}=r\,\mathbf{a}_z obtemos
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{3(p r) r}{r^5}\mathbf{a}_z-\frac{p}{r^3}\mathbf{a}_z\right] =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{3p}{r^3}-\frac{p}{r^3}\right)\mathbf{a}_z =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2p}{r^3}\,\mathbf{a}_z.
Ou seja, no eixo do dipolo o campo tem direção \mathbf{a}_z e magnitude \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2p}{r^3}.

Passo 7

Calculo numérico: já temos p=1{,}0\times10^{-10} e r^3=10^3=1000, então
\frac{2p}{r^3}= \frac{2\times1{,}0\times10^{-10}}{1000}=2{,}0\times10^{-13}.
Multiplicando pela constante:
\mathbf{E}(0,0,10)=8{,}9875518\times10^{9}\times 2{,}0\times10^{-13}\,\mathbf{a}_z \approx 1{,}79751036\times10^{-3}\,\mathbf{a}_z\\ \text{V/m}.
Arredondando:
\mathbf{E}(0,0,10)\approx 1{,}80\times10^{-3}\,\mathbf{a}_z\\ \text{V/m}.
Interpretação rápida: campo apontando no sentido +\mathbf{a}_z (para cima), já que o momento dipolar está dirigido para +\mathbf{a}_z.

Resposta

V(0,0,10)\approx 8{,}99\times10^{-3}\\ \text{V}
\mathbf{E}(0,0,10)\approx 1{,}80\times10^{-3}\,\mathbf{a}_z\\ \text{V/m}

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