Um dipolo elétrico de 100 \mathbf{a}_{z} \mathbf{p C} \cdot m está localizado na origem. Determine V e E nos pontos:
(1, \pi / 3, \pi / 2).

Passo 1

O enunciado dá um dipolo elétrico localizado na origem com momento dipolar igual a 100\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{pC}\cdot\text{m}. Pede para determinar o potencial elétrico V e o campo elétrico \mathbf{E} no ponto cujo coordenadas são (1,\pi/3,\pi/2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Momento dipolar: \mathbf{p}=100\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{pC}\cdot\text{m}.
  • Ponto onde avaliar: coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi)=(1,\pi/3,\pi/2).
  • Perguntas: calcular V e \mathbf{E} nesse ponto.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula do potencial e do campo de um dipolo pontual (válidas para r\neq0) e explicar cada símbolo.
A fórmula do potencial (referência zero no infinito) é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}},
onde:
  • \mathbf{p} é o vetor momento dipolar (unidade \text{C}\cdot\text{m}),
  • \hat{\mathbf{r}} é o versor radial no ponto onde avaliamos (direção de \mathbf{r}),
  • r é a distância ao dipolo (m),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F/m}),
  • 1/(4\pi\varepsilon_0) é frequentemente aproximado por 9{,}0\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2.
O campo elétrico do dipolo é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{r^{3}}.
Explico a estrutura: o primeiro termo alonga \hat{\mathbf{r}} (com fator 3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})) e o segundo é o próprio \mathbf{p} subtraído — ao combinar dá componentes radial e polar típicas em simetria esférica.

Passo 3

Como o dipolo está alinhado com o eixo z, podemos escrever \mathbf{p}=p\,\mathbf{a}_z com magnitude p. Primeiro converto a unidade dada:
100\\ \text{pC}\cdot\text{m}=100\times10^{-12}\\ \text{C}\cdot\text{m}=1{,}0\times10^{-10}\\ \text{C}\cdot\text{m}.
Logo p=1{,}0\times10^{-10}\\ \text{C}\cdot\text{m}.

Passo 4

Calculo \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}} no ponto dado. Em coordenadas esféricas o versor radial tem componente na direção z igual a \cos\theta. Assim
\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=p\cos\theta.
No ponto temos \theta=\pi/3, então
\cos\theta=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\theta=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Calculo do potencial V usando a fórmula do Passo 2:
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{r^{2}}.
Substituindo r=1, \cos\theta=\tfrac{1}{2}, p=1{,}0\times10^{-10}\\ \text{C}\cdot\text{m} e 1/(4\pi\varepsilon_0)\approx9{,}0\times10^{9}:
V \approx 9{,}0\times10^{9}\cdot\frac{1{,}0\times10^{-10}\cdot\frac{1}{2}}{1^{2}} =9{,}0\times10^{9}\cdot5{,}0\times10^{-11}=0{,}45\\ \text{V}.
Então V\approx0{,}45\\ \text{volts}.

Passo 6

Derivo expressões mais práticas para \mathbf{E} quando \mathbf{p}=p\,\mathbf{a}_z. Substituindo \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=p\cos\theta na expressão vetorial do campo e usando a relação \mathbf{a}_z=\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}-\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}} (identidade entre versores), obtém-se as componentes esféricas padrão:
E_{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2p\cos\theta}{r^{3}},\qquad E_{\theta}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p\sin\theta}{r^{3}},\qquad E_{\varphi}=0.
Essas fórmulas são muito usadas: E_{r} é a componente radial, E_{\theta} é a componente polar (no sentido decrescente de \theta).

Passo 7

Agora calculo numericamente as componentes com r=1, p=1{,}0\times10^{-10}, 1/(4\pi\varepsilon_0)=9{,}0\times10^{9}, \cos\theta=1/2, \sin\theta=\sqrt{3}/2.
Calcule E_{r}:
E_{r}=9{,}0\times10^{9}\cdot\frac{2\cdot(1{,}0\times10^{-10})\cdot\frac{1}{2}}{1^{3}} =9{,}0\times10^{9}\cdot1{,}0\times10^{-10}=0{,}9\\ \text{V/m}.
Calcule E_{\theta}:
E_{\theta}=9{,}0\times10^{9}\cdot\frac{1{,}0\times10^{-10}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{1^{3}} =0{,}9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}7794\\ \text{V/m}.
Portanto, em coordenadas esféricas:
\mathbf{E}=E_{r}\,\hat{\mathbf{r}}+E_{\theta}\,\hat{\boldsymbol{\theta}} \approx 0{,}9\,\hat{\mathbf{r}}+0{,}7794\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\quad(\text{V/m}).

Passo 8

Para maior clareza converto \mathbf{E} para componentes cartesianas. Primeiro escrevo \hat{\mathbf{r}} e \hat{\boldsymbol{\theta}} no ponto (\theta=\pi/3,\varphi=\pi/2). As fórmulas gerais são
\hat{\mathbf{r}}=(\sin\theta\cos\varphi)\,\mathbf{a}_x+(\sin\theta\sin\varphi)\,\mathbf{a}_y+(\cos\theta)\,\mathbf{a}_z,
\hat{\boldsymbol{\theta}}=(\cos\theta\cos\varphi)\,\mathbf{a}_x+(\cos\theta\sin\varphi)\,\mathbf{a}_y-(\sin\theta)\,\mathbf{a}_z.
No nosso ponto \varphi=\pi/2 então \cos\varphi=0, \sin\varphi=1. Substituindo:
\hat{\mathbf{r}}=\sin\theta\,\mathbf{a}_y+\cos\theta\,\mathbf{a}_z, \qquad \hat{\boldsymbol{\theta}}=\cos\theta\,\mathbf{a}_y-\sin\theta\,\mathbf{a}_z.
Agora componho \mathbf{E}=E_{r}\hat{\mathbf{r}}+E_{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}:
\mathbf{E}=(E_{r}\sin\theta+E_{\theta}\cos\theta)\,\mathbf{a}_y+(E_{r}\cos\theta-E_{\theta}\sin\theta)\,\mathbf{a}_z.
(Perceba que não aparece componente em \mathbf{a}_x porque \cos\varphi=0 aqui.)

Passo 9

Substituo os valores numéricos e uso \sin\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos\theta=\tfrac{1}{2}, E_{r}=0{,}9, E_{\theta}\approx0{,}77942286:
Cálculo de \mathbf{a}_y:
E_{y}=0{,}9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+0{,}77942286\cdot\frac{1}{2} =0{,}9\cdot0{,}8660254+0{,}38971143 \approx1{,}16913\\ \text{V/m}.
Cálculo de \mathbf{a}_z:
E_{z}=0{,}9\cdot\frac{1}{2}-0{,}77942286\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =0{,}45-0{,}675 =-0{,}225\\ \text{V/m}.
Portanto, em componentes cartesianas:
\mathbf{E}\approx 0\,\mathbf{a}_x+1{,}16913\,\mathbf{a}_y-0{,}225\,\mathbf{a}_z\quad(\text{V/m}).

Resposta

V\approx0{,}45\\ \text{V}
\displaystyle \mathbf{E}\approx 0{,}9\,\hat{\mathbf{r}}+0{,}7794\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\\ \text{V/m} (em coordenadas esféricas)
\displaystyle \mathbf{E}\approx 0\,\mathbf{a}_x+1{,}16913\,\mathbf{a}_y-0{,}225\,\mathbf{a}_z\\ \text{V/m} (em componentes cartesianas)

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