Um dipolo elétrico de
m está localizado na origem. Determine
e E nos pontos:
.
Passo 1
O enunciado dá um dipolo elétrico localizado na origem com momento dipolar igual a
. Pede para determinar o potencial elétrico
e o campo elétrico
no ponto cujo coordenadas são
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Momento dipolar:
. - Ponto onde avaliar: coordenadas esféricas
. - Perguntas: calcular
e nesse ponto.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula do potencial e do campo de um dipolo pontual (válidas para
) e explicar cada símbolo.
A fórmula do potencial (referência zero no infinito) é
A fórmula do potencial (referência zero no infinito) é
onde:
-
é o vetor momento dipolar (unidade ), -
é o versor radial no ponto onde avaliamos (direção de ), -
é a distância ao dipolo (m), -
é a permissividade do vácuo ( ), -
é frequentemente aproximado por .
O campo elétrico do dipolo é
Explico a estrutura: o primeiro termo alonga
(com fator
) e o segundo é o próprio
subtraído — ao combinar dá componentes radial e polar típicas em simetria esférica.
Passo 3
Como o dipolo está alinhado com o eixo
, podemos escrever
com magnitude
. Primeiro converto a unidade dada:
Logo
.
Passo 4
Calculo
no ponto dado. Em coordenadas esféricas o versor radial tem componente na direção
igual a
. Assim
No ponto temos
, então
Passo 5
Calculo do potencial
usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo
,
,
e
:
Então
.
Passo 6
Derivo expressões mais práticas para
quando
. Substituindo
na expressão vetorial do campo e usando a relação
(identidade entre versores), obtém-se as componentes esféricas padrão:
Essas fórmulas são muito usadas:
é a componente radial,
é a componente polar (no sentido decrescente de
).
Passo 7
Agora calculo numericamente as componentes com
,
,
,
,
.
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Portanto, em coordenadas esféricas:
Passo 8
Para maior clareza converto
para componentes cartesianas. Primeiro escrevo
e
no ponto
. As fórmulas gerais são
No nosso ponto
então
,
. Substituindo:
Agora componho
:
(Perceba que não aparece componente em
porque
aqui.)
Passo 9
Substituo os valores numéricos e uso
,
,
,
:
Cálculo de :
Cálculo de
Cálculo de
:
Portanto, em componentes cartesianas: