Um disco de momento de inércia J=0,1 k g \cdot m^{2} está preso a um eixo com rigidez torcional k \theta=50 N \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{rad}. Determine a frequência de vibração natural em rad/s.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a frequência de vibração natural em rad/s de um disco preso a um eixo com rigidez torcional. As informações fornecidas são:
  • Momento de inércia do disco: J=0{,}1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
  • Rigidez torcional (constante da mola torsional): k_{\theta}=50\\ \mathrm{N\cdot m/rad}.

Passo 2

Entendendo fisicamente o problema (passo a passo, devagar e sem pânico): quando o disco gira um pequeno ângulo \theta, a haste (ou mola torsional) aplica um torque restaurador proporcional a \theta, análogo à lei de Hooke linear. Escreve-se a lei da mola torsional como
\tau = -k_{\theta}\,\theta,
onde \tau é o torque (em \mathrm{N\cdot m}) e \theta é o deslocamento angular (em rad). O sinal negativo indica que o torque é restaurador (atua no sentido de reduzir \theta).
O momento de inércia J é análogo à massa em movimento linear: ele mede a resistência do corpo à aceleração angular. A aceleração angular é \ddot{\theta} (segunda derivada temporal de \theta).

Passo 3

Montando a equação de movimento por torques (segunda lei de Newton rotacional): a soma dos torques equals J vezes a aceleração angular,
J\,\ddot{\theta} = \sum \tau = -k_{\theta}\,\theta.
Colocando tudo num lado:
J\,\ddot{\theta} + k_{\theta}\,\theta = 0.
Isto é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes — forma típica de oscilador harmônico.

Passo 4

Resolver a equação assumindo solução harmônica: propondo \theta(t)=A\cos(\omega t+\varphi) e substituindo resulta na condição característica
-J\,\omega^{2}+k_{\theta}=0,
ou seja
\omega^{2}=\dfrac{k_{\theta}}{J}.
Portanto a frequência natural (em rad/s) é dada por
\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{k_{\theta}}{J}}.
Aqui \omega_{n} tem unidades de \mathrm{rad/s} porque k_{\theta}/J tem unidades de 1/\mathrm{s^{2}} (verificação dimensional abaixo).

Passo 5

Substituir os valores numéricos fornecidos (pego do enunciado):
J=0{,}1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}},\qquad k_{\theta}=50\\ \mathrm{N\cdot m/rad}.
Calcular a razão:
\dfrac{k_{\theta}}{J}=\dfrac{50}{0{,}1}=500.
Logo
\omega_{n}=\sqrt{500}= \sqrt{100\cdot 5}=10\sqrt{5}.
Sabendo que \sqrt{5}\approx 2{,}23607, obtemos
\omega_{n}\approx 10\times 2{,}23607=22{,}3607\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Verificação dimensional rápida (para não ficar com aquele medo de erro de unidade): escrever N=\mathrm{kg\cdot m/s^{2}}, então
\frac{k_{\theta}}{J}=\frac{\mathrm{N\cdot m/rad}}{\mathrm{kg\cdot m^{2}}}=\frac{\mathrm{kg\cdot m/s^{2}\cdot m}}{\mathrm{kg\cdot m^{2}}}=\frac{1}{\mathrm{s^{2}}},
pois o radiano é adimensional. Tomando raiz quadrada dá 1/\mathrm{s}, isto é \mathrm{rad/s}. Unidade consistente.

Passo 7

Resumo didático rápido: o oscilador torsional segue a mesma lógica do oscilador massa-mola linear; trocar massa por momento de inércia e constante elástica por rigidez torcional. A fórmula direta e prática para usar na prova é
\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{k_{\theta}}{J}}.
Calcule a razão k_{\theta}/J e tire a raiz quadrada — se precisar fazer sem calculadora, reduza a raiz em fatores (como fizemos: \sqrt{500}=10\sqrt{5}) e use uma aproximação conhecida para \sqrt{5}.

Resposta

\omega_{n}=22{,}3607\\ \mathrm{rad/s}