Um disco de momento de inércia
está preso a um eixo com rigidez torcional
. Determine a frequência de vibração natural em rad/s.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a frequência de vibração natural em rad/s de um disco preso a um eixo com rigidez torcional. As informações fornecidas são:
- Momento de inércia do disco:
. - Rigidez torcional (constante da mola torsional):
.
Passo 2
Entendendo fisicamente o problema (passo a passo, devagar e sem pânico): quando o disco gira um pequeno ângulo
, a haste (ou mola torsional) aplica um torque restaurador proporcional a
, análogo à lei de Hooke linear. Escreve-se a lei da mola torsional como
onde
é o torque (em
) e
é o deslocamento angular (em rad). O sinal negativo indica que o torque é restaurador (atua no sentido de reduzir
).
O momento de inércia
é análogo à massa em movimento linear: ele mede a resistência do corpo à aceleração angular. A aceleração angular é
(segunda derivada temporal de
).
Passo 3
Montando a equação de movimento por torques (segunda lei de Newton rotacional): a soma dos torques equals
vezes a aceleração angular,
Colocando tudo num lado:
Isto é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes — forma típica de oscilador harmônico.
Passo 4
Resolver a equação assumindo solução harmônica: propondo
e substituindo resulta na condição característica
ou seja
Portanto a frequência natural (em rad/s) é dada por
Aqui
tem unidades de
porque
tem unidades de
(verificação dimensional abaixo).
Passo 5
Substituir os valores numéricos fornecidos (pego do enunciado):
Calcular a razão:
Logo
Sabendo que
, obtemos
Passo 6
Verificação dimensional rápida (para não ficar com aquele medo de erro de unidade): escrever
, então
pois o radiano é adimensional. Tomando raiz quadrada dá
, isto é
. Unidade consistente.
Passo 7
Resumo didático rápido: o oscilador torsional segue a mesma lógica do oscilador massa-mola linear; trocar massa por momento de inércia e constante elástica por rigidez torcional. A fórmula direta e prática para usar na prova é
Calcule a razão
e tire a raiz quadrada — se precisar fazer sem calculadora, reduza a raiz em fatores (como fizemos:
) e use uma aproximação conhecida para
.