Discuta a afirmação: não existe uma função
de classe
no plano, de modo que
Passo 1
O enunciado pede para discutir se existe uma função f:ℝ²→ℝ de classe
cujas derivadas parciais satisfaçam
O conteúdo aqui é a condição de exatidão (ou teorema de Schwarz) para potenciais em campos conservativos: se f∈C², então
Passo 2
Para verificar essa condição, calculamos ambos os diferenciais mistos de f:
Passo 3
Observamos que
salvo em casos degenerados (por exemplo, ao longo de eixos). Como para f∈C² precisamos ter igualdade em todo o domínio, há contradição. Portanto não existe função f de classe
que satisfaça aquelas derivadas parciais.
Resposta
Não existe tal função f, pois os diferenciais mistos 3x y² e 2x y² não coincidem, violando a condição de Schwarz para f∈C².