Discuta a afirmação: não existe uma função f de classe C^2 no plano, de modo que
partial fpartial x=x y^3+5, partial fpartial y=x^2 y^2-2

Passo 1

O enunciado pede para discutir se existe uma função f:ℝ²→ℝ de classe C^2 cujas derivadas parciais satisfaçam
partial fpartial x=x y^3+5, partial fpartial y=x^2 y^2-2
O conteúdo aqui é a condição de exatidão (ou teorema de Schwarz) para potenciais em campos conservativos: se f∈C², então
partial^2 fpartial ypartial x=partial^2 fpartial xpartial y

Passo 2

Para verificar essa condição, calculamos ambos os diferenciais mistos de f:
partial^2 fpartial ypartial x = partialpartial yl(x y^3 +5r)=3x y^2,
partial^2 fpartial xpartial y = partialpartial xl(x^2 y^2 -2r)=2x y^2

Passo 3

Observamos que
3x y^2 neq 2x y^2
salvo em casos degenerados (por exemplo, ao longo de eixos). Como para f∈C² precisamos ter igualdade em todo o domínio, há contradição. Portanto não existe função f de classe C^2 que satisfaça aquelas derivadas parciais.

Resposta

Não existe tal função f, pois os diferenciais mistos 3x y² e 2x y² não coincidem, violando a condição de Schwarz para f∈C².

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