Discuta diferentes formas de obter a resposta de um oscilador linear submetido a uma excitação arbitrária.
Passo 1
O enunciado pede para “discutir diferentes formas de obter a resposta de um oscilador linear submetido a uma excitação arbitrária”.
Conteúdo da matéria: dinâmica de sistemas lineares (equação diferencial de 2º grau), resposta ao impulso, transformadas (Laplace e Fourier), convolução e métodos numéricos.
O que vamos precisar:
• Escrever a equação de movimento .
• Saber o que é função de transferência e resposta ao impulso (Green’s function).
• Entender noções básicas de transformada de Laplace/Fourier e integral de convolução.
• Conhecer esquemas numéricos simples para resolver EDOs.
Conteúdo da matéria: dinâmica de sistemas lineares (equação diferencial de 2º grau), resposta ao impulso, transformadas (Laplace e Fourier), convolução e métodos numéricos.
O que vamos precisar:
• Escrever a equação de movimento
• Saber o que é função de transferência e resposta ao impulso (Green’s function).
• Entender noções básicas de transformada de Laplace/Fourier e integral de convolução.
• Conhecer esquemas numéricos simples para resolver EDOs.
Passo 2
Formulação básica
A EDO do oscilador é
A EDO do oscilador é
Aqui
onde
é a solução homogênea (sem força) e
é uma particular que depende de
.
Passo 3
Método 1 – Convolução (Duhamel)
- A resposta ao impulso (Green’s function) do sistema sem força é
onde, e .
2. Paraarbitrária, usa-se a integral de convolução:
- Essa fórmula “monta” a resposta somando todas as mini-respostas ao impulso em cada instante passado.
Passo 4
Método 2 – Transformada de Laplace
- Aplica Laplace na EDO (com condições iniciais nulas para simplificar):
2. Define a função de transferência
- Obtém
e depois faz a transformada inversa para achar .
Passo 5
Método 3 – Transformada de Fourier / Resposta em frequência
- Para sinais estacionários ou analisando espectros, usa-se
com.
2. Depois aplica transformada inversa de Fourier para voltar a.
Passo 6
Método 4 – Estado de espaço e integração numérica
- Escreve sistema em vetores:
2. Usa método de Runge–Kutta, Newmark-beta ou outro esquema para avançar passo a passo em tempo discreto.
Resposta
As principais maneiras de obter
de um oscilador linear sob excitação arbitrária são:
- Integral de convolução (Duhamel) com a função de resposta ao impulso;
- Transformada de Laplace e uso de função de transferência;
- Transformada de Fourier (análise em frequência);
- Formulação em espaço de estado e solução numérica (Runge-Kutta, Newmark etc.).