Discuta diferentes formas de obter a resposta de um oscilador linear submetido a uma excitação arbitrária.

Passo 1

O enunciado pede para “discutir diferentes formas de obter a resposta de um oscilador linear submetido a uma excitação arbitrária”.
Conteúdo da matéria: dinâmica de sistemas lineares (equação diferencial de 2º grau), resposta ao impulso, transformadas (Laplace e Fourier), convolução e métodos numéricos.
O que vamos precisar:
• Escrever a equação de movimento mddot x + cdot x + kx = f(t).
• Saber o que é função de transferência e resposta ao impulso (Green’s function).
• Entender noções básicas de transformada de Laplace/​Fourier e integral de convolução.
• Conhecer esquemas numéricos simples para resolver EDOs.

Passo 2

Formulação básica
A EDO do oscilador é
mddot x(t) + c,dot x(t) + k,x(t) = f(t),
Aqui m é massa, c é amortecimento, k é rigidez e f(t) é a força arbitrária. A solução geral é
x(t) = xh(t) + xp(t),
onde xh(t) é a solução homogênea (sem força) e xp(t) é uma particular que depende de f(t).

Passo 3

Método 1 – Convolução (Duhamel)
  1. A resposta ao impulso (Green’s function) do sistema sem força é h(t)=1momegade^-zetaomegan tsin(omegad t), t>=0,
    onde omegan=raizk/m, zeta=c/(2momegan) e omegad=omeganraiz1-zeta^2.
    2. Para f(t) arbitrária, usa-se a integral de convolução:
    xp(t)=integral0^th(t-tau),f(tau)m,dtau
  2. Essa fórmula “monta” a resposta somando todas as mini-respostas ao impulso em cada instante passado.

Passo 4

Método 2 – Transformada de Laplace
  1. Aplica Laplace na EDO (com condições iniciais nulas para simplificar): m,s^2X(s) + c,sX(s) + k,X(s) = F(s)
    2. Define a função de transferência
    H(s)=X(s)F(s) = 1m,s^2 + c,s + k
  2. Obtém X(s)=H(s),F(s) e depois faz a transformada inversa para achar x(t).

Passo 5

Método 3 – Transformada de Fourier / Resposta em frequência
  1. Para sinais estacionários ou analisando espectros, usa-se X(omega)=H(iomega),F(omega),
    com H(iomega)=1/(k - momega^2 + i,comega).
    2. Depois aplica transformada inversa de Fourier para voltar a x(t).

Passo 6

Método 4 – Estado de espaço e integração numérica
  1. Escreve sistema em vetores: dotx = A,x + B,f(t), x=[x,dot x]^T
    2. Usa método de Runge–Kutta, Newmark-beta ou outro esquema para avançar passo a passo em tempo discreto.

Resposta

As principais maneiras de obter x(t) de um oscilador linear sob excitação arbitrária são:
  1. Integral de convolução (Duhamel) com a função de resposta ao impulso;
  2. Transformada de Laplace e uso de função de transferência;
  3. Transformada de Fourier (análise em frequência);
  4. Formulação em espaço de estado e solução numérica (Runge-Kutta, Newmark etc.).

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