Discuta os sistemas abaixo em função do parâmetro k . \left\{\begin{array}{l}k x+2 y=3 \\\\ 4 x+6 y=9\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} k x + 2y = 3,\\\\ 4x + 6y = 9, \end{cases}
e pede para discutir, em função do parâmetro k, se o sistema é determinado (solução única), indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). O conteúdo a usar é a teoria de sistemas lineares 2\times2, em especial o cálculo do determinante da matriz de coeficientes (Regra de Cramer) e critérios de compatibilidade.
Passo 2
Calculemos o determinante \Delta da matriz de coeficientes:
6k - 8 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k = \tfrac{4}{3},
a matriz de coeficientes é singular. Para verificar compatibilidade, note que, substituindo k=\tfrac{4}{3} na primeira equação e multiplicando por 3, obtemos exatamente a segunda:
Isso mostra que as duas equações são dependentes e não há contradição, logo há infinitas soluções. Podemos escrever a família de soluções, tomando x = t\in\mathbb{R}: