Discuta os sistemas abaixo em função do parâmetro k .
\left\{\begin{array}{l}k x+2 y=3 \\\\ 4 x+6 y=9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} k x + 2y = 3,\\\\ 4x + 6y = 9, \end{cases}
e pede para discutir, em função do parâmetro k, se o sistema é determinado (solução única), indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). O conteúdo a usar é a teoria de sistemas lineares 2\times2, em especial o cálculo do determinante da matriz de coeficientes (Regra de Cramer) e critérios de compatibilidade.

Passo 2

Calculemos o determinante \Delta da matriz de coeficientes:
\Delta = \begin{vmatrix} k & 2\\\\ 4 & 6 \end{vmatrix} = k\cdot6 - 2\cdot4 = 6k - 8.

Passo 3

Caso \Delta \neq 0, isto é,
6k - 8 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k \neq \tfrac{4}{3},
o sistema é determinado e tem solução única dada por Cramer:
\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 2\\\\ 9 & 6 \end{vmatrix} = 3\cdot6 - 2\cdot9 = 18 - 18 = 0,
\Delta_y = \begin{vmatrix} k & 3\\\\ 4 & 9 \end{vmatrix} = k\cdot9 - 3\cdot4 = 9k - 12.
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x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = 0, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{9k - 12}{6k - 8} = \frac{3(3k - 4)}{2(3k - 4)} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Se \Delta = 0, ou seja
6k - 8 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k = \tfrac{4}{3},
a matriz de coeficientes é singular. Para verificar compatibilidade, note que, substituindo k=\tfrac{4}{3} na primeira equação e multiplicando por 3, obtemos exatamente a segunda:
3\bigl(\tfrac{4}{3}x + 2y = 3\bigr) \;\Longrightarrow\; 4x + 6y = 9.
Isso mostra que as duas equações são dependentes e não há contradição, logo há infinitas soluções. Podemos escrever a família de soluções, tomando x = t\in\mathbb{R}:
\tfrac{4}{3}\,t + 2y = 3 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{3 - \tfrac{4}{3}t}{2} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3}\,t.

Resposta

Para k \neq \tfrac{4}{3}: sistema determinado com solução única
(x,y) = \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr).
Para k = \tfrac{4}{3}: sistema indeterminado com infinitas soluções
x = t,\quad y = \frac{3}{2} - \frac{2}{3}\,t,\quad t\in\mathbb{R}.
Não existe valor de k que torne o sistema impossível.

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