Discuta o Teorema da Equipartição de energia.

Passo 1

O enunciado pede para discutir o Teorema da Equipartição de Energia, que faz parte da mecânica estatística clássica. Vamos usar o formalismo do ensemble canônico (função de partição) e o conceito de graus de liberdade em um Hamiltoniano quadrático para deduzir quanto de energia média cabe a cada um deles.

Passo 2

No ensemble canônico, a energia média de um sistema é
lang<= Erang<= = -partialpartial betaln Z,
onde beta = 1/(kBT) e
Z = integral e^-beta H(p,q),dp,dq
é a função de partição. Se o Hamiltoniano contém um termo quadrático isolado da forma
Hx = a,x^2,
então a integral associada é gaussiana:
Zx = integral-infty^infty e^-beta a x^2,dx = raizpibeta a
Calculando a contribuição de Hx à energia média,
lang<= Exrang<= = -partialpartial betaln Zx = -partialpartial betal(tfrac12lnpi - tfrac12ln(beta a)r) = 12beta = 12kBT

Passo 3

Esse resultado geraliza-se a qualquer grau de liberdade que apareça quadraticamente no Hamiltoniano (seja em coordenadas de posição ou momento). Portanto, cada termo quadrático contribui com
12kBT
para a energia média do sistema em equilíbrio térmico.

Passo 4

Em um gás monoatômico clássico de N partículas livres só há três termos quadráticos em momentos ( px^2,py^2,pz^2). Logo a energia interna média é
U = N times 3 times 12kBT = 32NkBT
Dividindo por N e trocando kBN por R (constante dos gases), obtém-se a famosa lei de Dulong-Petit para calor específico molar CV = tfrac32R.

Passo 5

Para moléculas diatômicas, além de 3 graus de liberdade transladacionais, há 2 rotações clássicas (em geral quadráticas) que somam mais 2cdottfrac12kBT. Se as vibrações puderem ser tratadas classicamente, cada vibração fornece mais 2cdottfrac12kBT (energia cinética e potencial), totalizando 7/2,kBT por molécula.

Passo 6

O Teorema da Equipartição vale estritamente em regime clássico, ou seja kBT muito maior que os espaçamentos quânticos dos níveis de energia. Em baixa temperatura, modos vibracionais e rotacionais podem “congelar”, e a equipartição falha, exigindo tratamento quântico.

Resposta

Em equilíbrio térmico clássico, cada grau de liberdade aparecendo quadraticamente no Hamiltoniano contribui em média com
12,kBT
para a energia do sistema.

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