Discuta o Teorema da Equipartição de energia.
Passo 1
O enunciado pede para discutir o Teorema da Equipartição de Energia, que faz parte da mecânica estatística clássica. Vamos usar o formalismo do ensemble canônico (função de partição) e o conceito de graus de liberdade em um Hamiltoniano quadrático para deduzir quanto de energia média cabe a cada um deles.
Passo 2
No ensemble canônico, a energia média de um sistema é
onde
e
é a função de partição. Se o Hamiltoniano contém um termo quadrático isolado da forma
então a integral associada é gaussiana:
Calculando a contribuição de
à energia média,
Passo 3
Esse resultado geraliza-se a qualquer grau de liberdade que apareça quadraticamente no Hamiltoniano (seja em coordenadas de posição ou momento). Portanto, cada termo quadrático contribui com
para a energia média do sistema em equilíbrio térmico.
Passo 4
Em um gás monoatômico clássico de
partículas livres só há três termos quadráticos em momentos (
). Logo a energia interna média é
Dividindo por
e trocando
por
(constante dos gases), obtém-se a famosa lei de Dulong-Petit para calor específico molar
.
Passo 5
Para moléculas diatômicas, além de 3 graus de liberdade transladacionais, há 2 rotações clássicas (em geral quadráticas) que somam mais
. Se as vibrações puderem ser tratadas classicamente, cada vibração fornece mais
(energia cinética e potencial), totalizando
por molécula.
Passo 6
O Teorema da Equipartição vale estritamente em regime clássico, ou seja
muito maior que os espaçamentos quânticos dos níveis de energia. Em baixa temperatura, modos vibracionais e rotacionais podem “congelar”, e a equipartição falha, exigindo tratamento quântico.
Resposta
Em equilíbrio térmico clássico, cada grau de liberdade aparecendo quadraticamente no Hamiltoniano contribui em média com
para a energia do sistema.