Discutir a posição relativa entre
e
, para:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para discutir a posição relativa entre duas retas
e
. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda como as retas se posicionam umas em relação às outras no plano. Pra resolver isso, vamos precisar verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em um ponto qualquer.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma padrão:
Passo 3
O próximo passo é identificar os coeficientes angulares das duas retas. Uma forma de ver isso é colocando as equações na forma
, onde
é o coeficiente angular.
Para a reta
:
Então, o coeficiente angular de
é
.
Para a reta
:
Então, o coeficiente angular de
é
.
Passo 4
Agora, vamos comparar os coeficientes angulares para ver se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
- Retas paralelas: têm o mesmo coeficiente angular, mas diferente termo constante.
- Retas coincidentes: têm o mesmo coeficiente angular e os mesmos termos constantes.
- Retas que se cruzam: têm coeficientes angulares diferentes.
Então, vamos igualar os coeficientes angulares:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
que tornam as retas paralelas ou coincidentes:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois valores de
:
Passo 7
Vamos analisar cada caso:
- Para
:
Substituindo na equação de
:
Na equação de
:
Aqui, temos duas retas paralelas com coeficientes angulares iguais, mas constantes diferentes. Então, são retas paralelas e distintas.
- Para
:
Substituindo na equação de
:
Na equação de
:
Multiplicando a segunda equação por
:
Esta é a mesma equação de
, então as retas são coincidentes.
Passo 8
Para valores de
diferentes de
e
, os coeficientes angulares
e
são diferentes, o que significa que as retas vão se cruzar em um ponto específico.
Resposta
Dependendo do valor de
:
- Para
: as retas e são paralelas e distintas. - Para
: as retas e são coincidentes. - Para qualquer outro valor de
: as retas e se cruzam em um ponto.