1. Uma distância foi medida sobre uma inclinação uniforme de 8 \%, com uma trena de comprimento nominal de 30 m , encontrando-se 507,55 \mathrm{~m}. A temperatura ambiente no momento da medição era de 12^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a distância horizontal medida sabendo que a trena possui um comprimento real de 30,02 \mathrm{~m} a 20^{\circ} \mathrm{C} ? Dado: coeficiente de dilatação do aço = 1,16 \times 10^{-5}

Passo 1

O enunciado pede a distância horizontal correspondente a uma medição feita sobre uma inclinação de 8\%. Dados fornecidos:
  • distância medida (registrada com a trena) sobre a inclinação: 507,55\\ \mathrm{m};
  • trena de comprimento nominal: 30\\ \mathrm{m};
  • comprimento real da trena a 20^\circ\mathrm{C}: 30,02\\ \mathrm{m} (peguei este valor do enunciado);
  • temperatura no momento da medição: 12^\circ\mathrm{C} (peguei este valor do enunciado);
  • coeficiente de dilatação linear do aço: \alpha = 1,16\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} (peguei este valor do enunciado);
  • inclinação: 8\%, ou seja, razão subida/horizontal =0,08.
Pergunta específica: qual é a distância horizontal correspondente à medição registrada 507,55\\ \mathrm{m}, levando em conta a dilatação/contração da trena (porque a trena tem comprimento real diferente do nominal e a temperatura não é a de referência)?

Passo 2

Entender e aplicar a dilatação linear (aula rápida e fórmula).
Quando a temperatura difere da temperatura de referência, o comprimento de uma barra (aqui a trena) varia segundo a fórmula da dilatação linear:
L(T)=L_0\bigl(1+\alpha\,(T-T_0)\bigr),
onde
  • L(T) é o comprimento à temperatura T;
  • L_0 é o comprimento conhecido à temperatura de referência T_0;
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear;
  • T-T_0 é a variação de temperatura.
No enunciado temos L_0=30,02\\ \mathrm{m} à T_0=20^\circ\mathrm{C}. Medimos à T=12^\circ\mathrm{C}. Então:
\Delta T = T-T_0 = 12^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C} = -8^\circ\mathrm{C}.
Calculo do fator de variação:
\alpha\,\Delta T = 1,16\times10^{-5}\cdot(-8) = -9,28\times10^{-5}.
Portanto o comprimento da trena à 12^\circ\mathrm{C} é
L_{12}=30,02\bigl(1-9,28\times10^{-5}\bigr)=30,02\cdot0,9999072.
Agora o produto (mostrando a conta para que consiga reproduzir sem calculadora):
30,02\cdot0,9999072 = 30,02 - 30,02\cdot9,28\times10^{-5}.
Calcule 30,02\cdot9,28\times10^{-5}=30,02\cdot0,0000928\approx0,002785856. Então
L_{12}\approx30,02-0,002785856=30,017214144\\ \mathrm{m}.
Arredondando num formato razoável:
L_{12}\approx30,017214\\ \mathrm{m}.
Comentário didático rápido: a trena encolheu um pouco (porque a temperatura é menor que a referência), mas ainda é ligeiramente maior que 30{,}00\\ \mathrm{m} (pois 30{,}02 era o comprimento a 20^\circ\mathrm{C}).

Passo 3

Como corrigir a distância medida por usar uma trena cujo comprimento real difere do nominal.
Ao marcar 30\\ \mathrm{m} no mostrador, a trena efetivamente representa L_{12} metros reais (não exatamente 30\\ \mathrm{m}). Portanto cada unidade “nominal” de 30\\ \mathrm{m} corresponde a L_{12} metros reais. A razão de correção é
k=\frac{L_{12}}{30}.
Substituindo:
k=\frac{30,017214144}{30}\approx1,0005738048.

Passo 4

Calcular a distância real ao longo da inclinação (comprimento do traço medido na direção da rampa).
A leitura registrada foi 507,55\\ \mathrm{m} assumindo segmentos de 30\\ \mathrm{m} nominais. A distância real ao longo da rampa é:
s_{\text{real}}=507,55\cdot k = 507,55\cdot\frac{30,017214144}{30}.
Fazendo a conta:
s_{\text{real}}\approx507,55\cdot1,0005738048\approx507,841235\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: multiplicamos a leitura pela razão entre o comprimento real da trena na temperatura de medição e o comprimento nominal para obter o comprimento efetivo medido.

Passo 5

Converter o comprimento ao longo da inclinação para distância horizontal (aula rápida sobre geometria da inclinação).
Para uma inclinação dada em percentagem p\%, por definição
p\%=\frac{\text{elevação vertical}}{\text{distância horizontal}}\times100.çãâ
Aqui p=8\%, logo \dfrac{\text{elevação}}{\text{horizontal}}=0,08çã. Se chamarmos h a distância horizontal e v a elevação vertical, então v=0,08\,h. O comprimento ao longo da rampa s (a hipotenusa) satisfaz o teorema de Pitágoras:
s^2=h^2+v^2=h^2+(0,08\,h)^2=h^2\bigl(1+0,08^2\bigr).
Isolando h:
h=\frac{s}{\sqrt{1+0,08^2}}.

Passo 6

Aplicar a fórmula com s=s_{\text{real}}.
Primeiro calcule o denominador:
1+0,08^2=1+0,0064=1,0064, \qquad \sqrt{1,0064}\approx1,003194896.
Agora
h=\frac{507,841235}{1,003194896}\approx506,223918\\ \mathrm{m}.
Explicando em linguagem de prova: dividiu-se o comprimento ao longo da rampa pela correção geométrica \sqrt{1+(\text{inclinação})^2}çã para obter o plano horizontal.

Resposta

506,223918\\ \mathrm{m} (aproximadamente 506,224\\ \mathrm{m}).