- Uma distância foi medida sobre uma inclinação uniforme de
, com uma trena de comprimento nominal de 30 m , encontrando-se
. A temperatura ambiente no momento da medição era de
. Qual é a distância horizontal medida sabendo que a trena possui um comprimento real de
a
? Dado: coeficiente de dilatação do aço
Passo 1
O enunciado pede a distância horizontal correspondente a uma medição feita sobre uma inclinação de
. Dados fornecidos:
- distância medida (registrada com a trena) sobre a inclinação:
; - trena de comprimento nominal:
; - comprimento real da trena a
: (peguei este valor do enunciado); - temperatura no momento da medição:
(peguei este valor do enunciado); - coeficiente de dilatação linear do aço:
(peguei este valor do enunciado); - inclinação:
, ou seja, razão subida/horizontal .
Pergunta específica: qual é a distância horizontal correspondente à medição registrada
, levando em conta a dilatação/contração da trena (porque a trena tem comprimento real diferente do nominal e a temperatura não é a de referência)?
Passo 2
Entender e aplicar a dilatação linear (aula rápida e fórmula).
Quando a temperatura difere da temperatura de referência, o comprimento de uma barra (aqui a trena) varia segundo a fórmula da dilatação linear:
onde
-
é o comprimento à temperatura ; -
é o comprimento conhecido à temperatura de referência ; -
é o coeficiente de dilatação linear; -
é a variação de temperatura.
No enunciado temos
à
. Medimos à
. Então:
Calculo do fator de variação:
Portanto o comprimento da trena à
é
Agora o produto (mostrando a conta para que consiga reproduzir sem calculadora):
Calcule
. Então
Arredondando num formato razoável:
Comentário didático rápido: a trena encolheu um pouco (porque a temperatura é menor que a referência), mas ainda é ligeiramente maior que
(pois
era o comprimento a
).
Passo 3
Como corrigir a distância medida por usar uma trena cujo comprimento real difere do nominal.
Ao marcar
no mostrador, a trena efetivamente representa
metros reais (não exatamente
). Portanto cada unidade “nominal” de
corresponde a
metros reais. A razão de correção é
Substituindo:
Passo 4
Calcular a distância real ao longo da inclinação (comprimento do traço medido na direção da rampa).
A leitura registrada foi
assumindo segmentos de
nominais. A distância real ao longo da rampa é:
Fazendo a conta:
Explicação curta: multiplicamos a leitura pela razão entre o comprimento real da trena na temperatura de medição e o comprimento nominal para obter o comprimento efetivo medido.
Passo 5
Converter o comprimento ao longo da inclinação para distância horizontal (aula rápida sobre geometria da inclinação).
Para uma inclinação dada em percentagem
, por definição
Aqui
, logo
. Se chamarmos
a distância horizontal e
a elevação vertical, então
. O comprimento ao longo da rampa
(a hipotenusa) satisfaz o teorema de Pitágoras:
Isolando
:
Passo 6
Aplicar a fórmula com
.
Primeiro calcule o denominador:
Agora
Explicando em linguagem de prova: dividiu-se o comprimento ao longo da rampa pela correção geométrica
para obter o plano horizontal.