1. A distância d, em quilômetros, entre uma pessoa e o horizonte é dada aproximadamente pela fórmula d= 112,88 \sqrt{h}, em que h, também em quilômetros, é a altura do observador em relaçāo ao solo. Usando uma calculadora, determine a distância do horizonte para alguém que visita o último andar do edificio Burj Khalifa, nos Emirados Árabes, que está a 621,3 \mathrm{~m} do chāo.
  2. Ponha em ordem crescente os números 1-\sqrt{2}, \sqrt{3}-2, \sqrt{2}-1 e 2-\sqrt{3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e os dados fornecidos.
  • Problema 3: a fórmula aproximada da distância ao horizonte é d = 112,88\sqrt{h}, onde d está em quilômetros e h (altura do observador) também em quilômetros. O enunciado dá a altura 621,3\\ \mathrm{m}. O pedido: usando uma calculadora, determinar d para essa altura.
  • Problema 4: ordenar, em ordem crescente, os quatro números
    1-\sqrt{2},\qquad \sqrt{3}-2,\qquad \sqrt{2}-1,\qquad 2-\sqrt{3}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico/prático para o problema 3: converter a altura de metros para quilômetros. Lembre que 1\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m}. Então, para converter metros para quilômetros divide-se por 1000.
Calcule a conversão:
621{,}3\\ \mathrm{m} = \frac{621{,}3}{1000}\\ \mathrm{km} = 0{,}6213\\ \mathrm{km}.

Passo 3

Agora usar a fórmula. A fórmula dada é
d = 112{,}88\sqrt{h},
onde h está em quilômetros. Substituindo h=0{,}6213 obtemos a expressão que devemos avaliar:
d = 112{,}88\sqrt{0{,}6213}.
Explicação rápida do que é \sqrt{\,\cdot\,}: \sqrt{x} significa o número não negativo cuja multiplicação por ele mesmo dá x. Aqui precisamos do valor numérico de \sqrt{0{,}6213}; o enunciado permite usar calculadora.

Passo 4

Calcular \sqrt{0{,}6213} na calculadora. Fazendo isso obtém-se, com precisão suficiente para a prova,
\sqrt{0{,}6213}\approx 0{,}78823\\ (\text{arredondado em 5 casas decimais}).
(Se quiser entender por que isso faz sentido: (0{,}78823)^2\approx 0{,}6213.)

Passo 5

Multiplicar pelo coeficiente 112{,}88. Usando a calculadora:
d = 112{,}88 \times 0{,}78823 \approx 88{,}98\\ \text{km}.
Explicação sobre arredondamento: apresentei o resultado com duas casas decimais, que é normalmente suficiente em problemas práticos. Podemos também conferir rapidamente por outra fórmula comum: usando a forma em metros d\\ (\text{km})\approx 3{,}57\sqrt{h\\ (\text{m})}, com h=621{,}3\\ \mathrm{m} d\approx 3{,}57\sqrt{621{,}3}\approx 89{,}0\\ \text{km}, compatível com 88{,}98\\ \text{km}.

Passo 6

Agora resolvemos o problema 4. Primeiro, obter aproximações numéricas de \sqrt{2} e \sqrt{3} (valores bem conhecidos que podem ser usados na prova):
\sqrt{2}\approx 1{,}41421356,\qquad \sqrt{3}\approx 1{,}73205081.

Passo 7

Calcular cada expressão usando essas aproximações:
  • Para 1-\sqrt{2}:
1-\sqrt{2}\approx 1 - 1{,}41421356 = -0{,}41421356.
  • Para \sqrt{3}-2:
\sqrt{3}-2\approx 1{,}73205081 - 2 = -0{,}26794919.
  • Para \sqrt{2}-1:
\sqrt{2}-1\approx 1{,}41421356 - 1 = 0{,}41421356.
  • Para 2-\sqrt{3}:
2-\sqrt{3}\approx 2 - 1{,}73205081 = 0{,}26794919.

Passo 8

Comparar os valores encontrados para colocar em ordem crescente. Organizamos do menor para o maior:
  • O menor é 1-\sqrt{2}\approx -0{,}4142.
  • Depois vem \sqrt{3}-2\approx -0{,}2679.
  • Em seguida vem 2-\sqrt{3}\approx 0{,}2679.
  • O maior é \sqrt{2}-1\approx 0{,}4142.
Observação útil (intuição): cada par é simétrico em sinal: 1-\sqrt{2}=-(\sqrt{2}-1) e \sqrt{3}-2=-(2-\sqrt{3}), então basta comparar as magnitudes \sqrt{2}-1 e 2-\sqrt{3} (neste caso \sqrt{2}-1 é maior), o que confirma a ordem acima.

Resposta

d \approx 88{,}98\\ \text{km}
1-\sqrt{2},\\ \sqrt{3}-2,\\\ 2-\sqrt{3},\\ \sqrt{2}-1

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