1. Para uma distribuição de corrente no espaço livre:
A=\left(2 x^{2} y+y z\right) a_{x}+\left(x y^{2}-x z^{3}\right) a_{y}-\left(6 x y z-2 x^{2} y^{2}\right) a_{z} \mathrm{~Wb} / \mathrm{m}
a) Calcule B.

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetorial \mathbf{A} no espaço livre e pede para calcular o campo \mathbf{B}. Informações fornecidas:
  • O potencial vetorial é
\mathbf{A}=\bigl(2x^{2}y + y z\bigr)\,a_{x} + \bigl(x y^{2} - x z^{3}\bigr)\,a_{y} -\bigl(6 x y z - 2 x^{2} y^{2}\bigr)\,a_{z}\\ \text{Wb/m}.
  • A pergunta: calcular \mathbf{B} (o resultado final deve ser um vetor em termos de x,y,z).

Passo 2

Regra fundamental que usaremos (fórmula do rotor / curl): para um campo vetorial \mathbf{A} = A_x\,a_x + A_y\,a_y + A_z\,a_z, o vetor \mathbf{B} definido por \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} tem componentes cartesianas dadas por
\begin{aligned} B_x &= \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\\[4pt] B_y &= \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x},\\[4pt] B_z &= \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}. \end{aligned}
Explicação rápida do que isso significa: cada componente de \mathbf{B} é feita de derivadas parciais dos componentes de \mathbf{A}. Derivada parcial \partial/\partial x trata y e z como constantes, e assim por diante. Se surgir produto de funções (ex.: 2x^2 y), aplica-se a regra do produto (mas aqui é simples porque cada termo é monômio em x,y,z).]

Passo 3

Identifico explicitamente as componentes de \mathbf{A} (retirei do enunciado):
\begin{aligned} A_x &= 2x^{2}y + y z,\\[4pt] A_y &= x y^{2} - x z^{3},\\[4pt] A_z &= -6 x y z + 2 x^{2} y^{2}. \end{aligned}
Anote mental: os sinais já estão embutidos (o termo em a_z veio com um menos no enunciado).]

Passo 4

Calculo B_x=\dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z}.
Primeiro \dfrac{\partial A_z}{\partial y}:
A_z = -6 x y z + 2 x^{2} y^{2}.
  • Derivando -6 x y z em relação a y: tratar x e z como constantes => \dfrac{\partial}{\partial y}(-6 x y z) = -6 x z.
  • Derivando 2 x^{2} y^{2} em relação a y: 2 x^{2} é constante, derivada de y^{2} é 2y => \dfrac{\partial}{\partial y}(2 x^{2} y^{2}) = 2 x^{2}\cdot 2y = 4 x^{2} y.
    Logo
\frac{\partial A_z}{\partial y} = -6 x z + 4 x^{2} y.
Agora \dfrac{\partial A_y}{\partial z}:
A_y = x y^{2} - x z^{3}.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(x y^{2}) = 0 pois não depende de z (trata-se x,y como constantes).
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(-x z^{3}) = -x\cdot 3 z^{2} = -3 x z^{2}.
    Logo
\frac{\partial A_y}{\partial z} = -3 x z^{2}.
Substituindo em B_x:
\begin{aligned} B_x &= \bigl(-6 x z + 4 x^{2} y\bigr) - \bigl(-3 x z^{2}\bigr)\\[4pt] &= -6 x z + 4 x^{2} y + 3 x z^{2}. \end{aligned}]

Passo 5

Calculo B_y=\dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x}.
Primeiro \dfrac{\partial A_x}{\partial z}:
A_x = 2x^{2}y + y z.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(2x^{2}y)=0 (não depende de z).
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(y z)=y (trata y como constante).
    Logo
\frac{\partial A_x}{\partial z} = y.
Agora \dfrac{\partial A_z}{\partial x}:
A_z = -6 x y z + 2 x^{2} y^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-6 x y z) = -6 y z.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2 x^{2} y^{2}) = 2 y^{2}\cdot 2 x = 4 x y^{2}.
    Logo
\frac{\partial A_z}{\partial x} = -6 y z + 4 x y^{2}.
Substituindo em B_y:
\begin{aligned} B_y &= y - \bigl(-6 y z + 4 x y^{2}\bigr)\\[4pt] &= y + 6 y z - 4 x y^{2}. \end{aligned}]

Passo 6

Calculo B_z=\dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y}.
Primeiro \dfrac{\partial A_y}{\partial x}:
A_y = x y^{2} - x z^{3}.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2}) = y^{2} (pois deriva x para 1 e y^{2} é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-x z^{3}) = -z^{3}.
    Logo
\frac{\partial A_y}{\partial x} = y^{2} - z^{3}.
Agora \dfrac{\partial A_x}{\partial y}:
A_x = 2x^{2}y + y z.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{2}y) = 2x^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y z) = z.
    Logo
\frac{\partial A_x}{\partial y} = 2 x^{2} + z.
Substituindo em B_z:
\begin{aligned} B_z &= \bigl(y^{2} - z^{3}\bigr) - \bigl(2 x^{2} + z\bigr)\\[4pt] &= -2 x^{2} + y^{2} - z - z^{3}. \end{aligned}]

Passo 7

Reunião dos resultados: as três componentes do campo \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} são
\begin{aligned} B_x &= -6 x z + 4 x^{2} y + 3 x z^{2},\\[4pt] B_y &= y + 6 y z - 4 x y^{2},\\[4pt] B_z &= -2 x^{2} + y^{2} - z - z^{3}. \end{aligned}
Unidade: como \mathbf{A} estava em \text{Wb/m}, o rotor dá \mathbf{B} em \text{Wb/m}^2, que é equivalente a tesla ( \text{T}).]

Resposta

\mathbf{B} = \bigl(-6 x z + 4 x^{2} y + 3 x z^{2}\bigr)\,a_{x} + \bigl(y + 6 y z - 4 x y^{2}\bigr)\,a_{y} + \bigl(-2 x^{2} + y^{2} - z - z^{3}\bigr)\,a_{z}\\ \mathrm{T}.

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